Satz mit der Definition der Konvergenz und der Definition der bestimmten Divergenz beweisen

Question

Ich weiß nicht genau wie ich anfangen soll es zu beweisen. Bräuchte einen Denkanstoß 

Comments

Halte dich an die Aufgabenstellung. Formuliere mit Hilfe der Definitionen die Bedingung und die Folgerung um, dann hast du schon mal auf einen Blick deine Ausgangsbasis und dein Ziel.

Answer 1

Def. könnte etwa so gewesen sein:

Voraussetzungen:

1. a_n konvergiert gegen a ⇔ ∀ ε>0 ∃ N ∈ IN  ∀ n > N gilt  | a_n - a | < ε

2.  b_n divergiert bestimmt gegen ∞  ⇔ ∀ C>0 ∃ N ∈ IN  ∀ n > N gilt    b_n > C

Behauptung:

a_{n *} b_n divergiert bestimmt gegen ∞  ⇔ ∀ C>0 ∃ N ∈ IN  ∀ n > N gilt    a_n *b_n > C

Bew:  da   a_n konvergiert gegen a   ist z.B. für   ε =  a/2

von einem gewissen N1 an, also für alle n>N1  immer    | a_n - a | < a/2

also  a/2  <   a_n  < 3a/2    also jedenfalls   a_n > a/2  > 0  für alle n > N1.

Zum Nachweis der Behauptung sei  nun C > 0.

Dann ist auch  D = 2C/a > 0   und für dieses D gibt es nach

Vor. 2 ein   N2 mit    b_n > D  für alle  n > N2

Für n >  N = max( N1 ; N2 ) gilt also sowohl

a_n > a/2 > 0     als auch   b_n > 2C/a

Die 2. Ungl. mit a/2 multipliziert gibt   a/2 * b_n > C

und weil a_n > a/2 also    a_n * b_n > C .     q.e.d.

Comments

Bleibt vielleicht die Frage: Wie kommt man drauf ?

Dazu auf dem Schmierblatt überlegen, was kann ich verwenden

um für ein vorgegebenes C zu zeigen    a_n * b_n > C .

von einem gewissen N an. 

Wegen der Voraussetzungen hat man schon mal  b_n > D

für jedes D.   Damit man auf      a_n * b_n > C .muss man offenbar multiplizieren und weil die an eine

positive unt. Schranke etwa ( a/2 ) ( von einem gewissen n ab)

haben liegt nahe mit   a/2 zu multiplizieren und damit das dann > C

wird muss das D eben als  2C/a  gewählt werden.