In welchen der folgenden Faelle ist G der Graph einer Funktion von A nach B?

Question

In welchen der folgenden Fälle ist G der Graph einer Funktion von A nach B? Und wenn G der Graph einer Funktion ist, bestimmen Sie, ob die Funktion injektiv, ob sie surjektiv und ob sie bijektiv ist. Begrunden Sie Ihre Antworten kurz.

1. A = {1}, B = {1, 2}, G = A × B.

2. A = {0, 8, 15}, B = { 1/2 , 1/3 , 1/5 }, G = {(0, 1/2 ),(8, 1/5 ),(15, 1/5 )}

3. A = N, B = N, G = {(n, 2n) | n ∈ N}

4. A = N, B = N, G = {(2n, n) | n ∈ N} 

bin bei der ersten Teilaufgabe schon verwirrt.

1. ist ein kartesisches Produkt aus den Mengen A und B und die Funktionswerte sind (1,1) und (1,2)... aber sind sie jetzt injektiv? oder surjektiv? oder beides? (=bijektiv) 
ich komm da leider nicht weiter...

2. ist eine Funktion und ist weder injektiv noch surjektiv... injektiv bedeutet doch, dass für jedes y e N hoechstens eine Lsg. x e N gibt und surjektiv, dass es mind. eine Lsg x e N gibt. 
und da das wegen (8, 1/5) und (15, 1/5) nicht erfuellt ist und 1/3 keinem Wert zugeordnet wird.

3. ist eine Funktion und injektiv, jedem y Wert wird ja hoechstens 1x oder 0x ein x-Wert zugeordnet

4. ist eine Funktion und bijektiv, weil das die Umkehrfunktion von 3. ist und Umkehrfkt. doch so definiert sind, dass sie bijektiv sind...


mich verwirrt die Mengenlehre leider total, waere nett wenn mir jemand weiterhilft!! 

Vielen,

Answer 1

1. A = {1}, B = {1, 2}, G = A × B.     = { (1,1) , (1,2) }

keine Funktion, weil dem x-Wert 1 zwei verschiedene Funktionswerte zugeordnet werden.

2. A = {0, 8, 15}, B = { 1/2 , 1/3 , 1/5 }, G = {(0, 1/2 ),(8, 1/5 ),(15, 1/5 )} 

bijektive Funktion: Jedem x∈A  wird genau ein Wert aus B zugeordnet (Funktion). Jedes x∈A aus A hat einen anderen Funktionswert (injektiv) und jedes y∈B hat ein Urbild in A (surjektiv)

3. A = ℕ, B = ℕ,   G = {(n, 2n) | n ∈ ℕ} 

injektive Funktion: Jedem x∈A  wird genau ein Wert aus B zugeordnet (Funktion). Jedes x∈A aus A hat einen anderen Funktionswert (injektiv).  Aber die ungeraden y∈B haben keine Urbilder in A (nicht surjektiv)

4. A = ℕ , B = ℕ, G = {(2n, n) | n ∈ ℕ}  

keine Funktion, da den ungeraden Elementen von ℕ kein Funktionswert zugeordnet wird.

Gruß Wolfgang