Vollständige Induktion. Wie forme ich (n+1)2^n - (2^{n+1} -1)+(n+1)2^n im letzten Schritt um?

Question

Ich soll was per vollständiger Induktion beweisen und habe auch fast alles. Nun habe ich (n+1)2^n - (2^{n+1} -1)+(n+1)2^n. Nun muss ich das irgendwie so umstellen, dass am Ende (n+1)2^n-(2^{n+1}-1) rauskommt und das schaff ich einfach nicht.

Könnte mir das jemand behilflich sein?

Comments

EDIT: Gib bitte jeweils neben der konkreten Frage auch die vollständige Aufgabe an. Dann sieht man einfacher, was der Fehler ist.

Answer 1

Das wird nicht gehen, außer n = -1.

Answer 2

(n+1)2ⁿ - (2ⁿ⁺¹ -1)+(n+1)2ⁿ.

Nun muss ich das irgendwie so umstellen, dass am

Ende (n+1)2ⁿ-(2ⁿ⁺¹-1) rauskommt

ist es nicht    (n+1)2ⁿ⁺¹ -(2ⁿ⁺¹-1)Das würde nämlich passen; denn

(n+1)2ⁿ - (2ⁿ⁺¹ -1)+(n+1)2ⁿ.

=2*(n+1)2ⁿ - (2ⁿ⁺¹ -1)

=(n+1)*2¹*2ⁿ - (2ⁿ⁺¹ -1)

=   (n+1)2ⁿ⁺¹ -(2ⁿ⁺¹-1)

Comments

Ich habe am Anfang gegeben Summe von k=1 bis n von k*2^{k-1}- (2^{n+1}-1) = (n+1)2^n-(2^{n+1}-1)

Indunktionsanfang hat geklappt und dann konnte ich beim induktionsschritt für n+1 die Induktionsbedingung benutzen, so dass ich dann eben (n+1)2^n-(2^{n+1}-1) +(n+1)*2^n  - die ersten beiden Summanden habe ich von der Induktionsbedingung und der rechte Teil ist, wenn ich in k*2^{k-1} für k (n+1) einsetze. Sehe da nämlich keinen Fehler meinerseits

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Ach, ich habs falsch ins Forum geschrieben, tut mir Leid. Am ende muss folgendes rauskommen:
(n+2)2^{n+1}-(2^{n+2}-1)

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Ich forme mal dein erwartetes Resultat etwas um

(n+2)2ⁿ⁺¹-(2ⁿ⁺²-1) 

= n*2^{n+1} + 2^{n+2}  - 2^{n+2} + 1 

= n*2^{n+1} + 1

Nun schaust du vielleicht mal, ob du mit Umformung der linken Seite auf n*2^{n+1} + 1 kommst.