Wenn du die Äquivalenz mehrerer Aussagen zeigen sollst, ist es meistens am wenigsten Aufwand, einen "Kreis" von Implikationen zu zeigen. (für Aussagen \(M,N,O,P\) zum Beispiel \(M\Rightarrow N\Rightarrow O \Rightarrow P\Rightarrow M\)). Dann sind schon alle äquivalent.
Dabei gibt es natürlich einfachere und schwierigere "Kreise". Der einfachste in diesem Fall ist wahrscheinlich:
\((i)\Rightarrow (ii)\Rightarrow(iv)\Rightarrow(iii)\Rightarrow(i).\)
Also fängst du z.B. mit \(X\subseteq Y\) an, nimmst an, dass diese Aussage wahr ist, und zeigst, dass auch \(X\cap Y=X\) gilt. Dazu sei \(a\in X\). Der Schnitt bedeutet, dass \(a\in X\land a\in Y.\) Da aber \(X\subseteq Y,\) folgt aus \(a\in X\) auch \(a\in Y\). Damit ist \(a\in X\cap Y.\)
Damit hast du gezeigt, dass \(\forall a\in X\colon\ a\in X\cap Y,\) also \(X\subseteq X\cap Y.\)
Die andere Richtung \(X\cap Y\subseteq X.\) solltest du auch alleine schaffen. Dann hast du gezeigt, dass beide Mengen ineinander enthalten sind. Das ist aber nur möglich, wenn sie gleich sind: \(X= X\cap Y.\)
Für die nächste Implikation nimmst du dann \(X\cap Y=X\) als gegeben an und zeigst \(X\setminus Y=\emptyset\).
\(X\setminus Y=(X\cap Y)\setminus Y=\{a\colon\ a\in X\land a\in Y\land a\not\in Y\}=\emptyset.\)
Für die dritte dann: \(X\setminus Y=\emptyset\).
Dann gilt: \(Y=Y\cup \emptyset = Y\cup (X\setminus Y)=\{a\!: a\in Y\lor (a\in X \land a\not\in Y)\}=\{a\!: (a\in Y\lor a\in X)\land (a\in Y \lor a\not\in Y)\}.\) Die hintere Aussage \((a\in Y \lor a\not\in Y)\}\) ist für Mengen immer wahr, deshalb kann man das Kriterium weglassen: \(Y=\{a\!: (a\in Y\lor a\in X)\land (a\in Y \lor a\not\in Y)\}=\{a\!: (a\in Y\lor a\in X)\}=X\cup Y.\)
Letztlich noch: Gelte \(X\cup Y=Y\), zu zeigen: \(X\subseteq Y.\)
\(X\cup Y=Y \Leftrightarrow \{a\!:a\in X\lor a\in Y\}=\{a\!:a\in Y\}.\) Damit müssen die logischen Aussagen \(a\in X\lor a\in Y\) und \(a\in Y\) äquivalent sein: \(a\in X\lor a\in Y\Leftrightarrow a\in Y.\) Dies bedeutet unter anderem: \(a\not\in Y\Rightarrow a\not\in Y\land a\not\in X.\) Also: \(a\not\in Y\Rightarrow a\not\in X.\) Das ist äquivalent zur Aussage, dass \(a\in X\Rightarrow a\in Y\) (die sogenannte Kontraposition dieser Implikation).
Es gibt wie du siehst mehrere Lösungsansätze, über Umformung der Mengen und Operatoren, zu elementweisem Vergleich zu Aussagenlogik. Wenn du eine der Implikationen nicht verstehst oder glaubst, sie in diesem Beweis nicht anwenden zu dürfen, versuche es mit einer der anderen Herangehensweisen in dieser Antwort.
