Verständnisfrage Untervektorräume: Warum muss die Gerade durch den Ursprung gehen?

Question

http://www.mathe-online.at/lernpfade/lin_alg_glatz/?kapitel=3
Unter 3.2. steht dieser Satz:

"Der Nullvektor muss in jedem nichtleeren Unterraum des R² bzw. R³ enthalten sein! Somit müssen Geraden durch den Ursprung gehen, falls sie Unterräume sein wollen!"

Kann mir bitte jemand erläutern, warum die Geraden durch den Urspung gehen müssen? Die Bergündung erschließt sich mir nicht ...

Wie verhält es sich bei den Ebenen, wenn man den Unterraum R^2 von R^3 betrachtet und was wenn man den R^3 als Unterraum von R^4 betrachtet? Müssten dann die Ebenen ebenfalls durch den Ursprung gehen und im Falle des Unterraums R^3 von R^4 wodurch müsste dieser "gehen"?

Answer 1

Jeder nicht leere Vektorraum muss (das steht in deinem Zitat) den Nullvektor enthalten, also auch alle Untervektorräume! Den Zusatz "nicht leer" finde ich etwas merkwürdig, da dies in den mir bekannten Definitionen immer von vornherein ausgeschlossen wird.

Untervektorräume des ℝ^n müssen also den Nullvektor (und ihre Punktmenge damit den Ursprung) enthalten!

Answer 2

es müssen die Unterraummkriterien erfüllt sein, insbesondere  die Abgeschlossenheit bzw. der Skalarmultiplikation, also auch Multipliaktion mit 0.

$$ \vec{ x } \in U -> 0*\vec{ x }=\vec{ 0 } \in U $$

Im R^n sind Ebenen und Geraden nur Unterraume, wenn sie durch den Ursprung verlaufen.