Welche Stellen der x-Achse sind keine Nullstellen einer bestimmten Geradenschar?

Question

Welche Stellen der x-Achse sind keine Nullstellen der Geradenschar

f(x) = tx + (2√(t² + 1)?

Vorgegebener Lösungsansatz:

(1) (2√(t² + 1))/t = a

(2) t = ± 2/√(a² - 4)

Mir ist klar, dass (1) den jeweiligen Schnittpunkt der Schargeraden, abhaengig von t, mit der x-Achse angibt.
Klar ist auch die Lösung: Nur wenn a (absolut) groesser ist als 2, schneiden die Geraden die x-Achse.

Unklar ist mir, wie man rechnerisch von (1) nach (2) kommt.

Answer 1

wenn Du wissen willst, welche Kurve einer Schar durch einen speziellen Punkt (z.B. (3,5)) geht, dann setzt Du diesen Punkt ein, und löst nach t auf. Damit weißt Du, dass genau diese Scharkurve durch den gegebenen Punkt geht.

Das kannst Du verallgemeinern:

Welche Scharkurve geht durch den Punkt (a,0)?

Also a für x einsetzen und 0 für y einsetzen, dann nach t auflösen:

$$ ta+2\sqrt{t^2+1} = 0 $$

$$ 2\sqrt{t^2+1} = -ta $$

$$ 4(t^2+1) = t^2a^2 $$

$$ 4 = t^2a^2-4t^2 $$

$$ t^2(a^2-4) = 4 $$

$$ t^2 = {4 \over a^2-4} $$

$$ t = \pm{2 \over \sqrt{a^2-4}} $$

Diese Gleichung ist aber nur gültig für \( a^2-4 > 0 \), also \( a \notin [-2;2] \).

D.h.setzt Du z.B. für \( (a,0) = (1,0) \) ein, kannst Du nicht nach t auflösen, d.h. es gibt keine Scharkurve durch diesen Punkt. Analog für alle anderen Punkte aus diesem (geschlossenen !!) Intervall).

Grüße,

M.B.

Comments

Hallo MB,

Mein offenes Intervall war natürlich ein Fehler. Habe ihn korrigiert. Dein Lösungsansatz ist auch weniger aufwändig als meiner.

Du hast dir aber - mit dem Ergebnis vor Augen - das Auswerten der quadrierten Gleichung (keine Äquivalenzumformumg, Probe!)  sehr einfach gemacht:

Die "Gleichung"  t = ± 2 / √(a²-1) ist ohne Probe keineswegs für alle a ∈ [ -2 ; 2 ] gültig.

Da die Lösungsmenge der Gleichung ta + 2 * √(t² + 1) = 0 mit dem Parameter a  offensichtlich für t * a ≥ 0 leer ist, müsste die Bestimmung der Lösungsmenge ab  

t² * (a²-4) = 4   wohl so weitergehen:

 Fall 1:  a² - 4 = 0 keine Lösung

Fall 2:  a² - 4 <  0  keine Lösung

Fall 3:  a² - 4 > 0     ( ⇔ a ∉  [ -2 ; 2 ] )

             t² = 4 / (a²-4)

            | t |  =  2 / √(a²-4)

Fall 3.1:  t>0 und a < -2 

              t =  2 / √(a²-4)    (Probe erfüllt!)

Fall 3.2:  t < 0 und a>2

              t = - 2 / √(a²-4)   (Probe erfüllt!)

Ergebnis:   

L = { 2 / √(a²-4) }  für  a ∈ ] 2 ; ∞ [

       { -2 /  √(a²-4)  für a  ∈ ] - ∞ ; 2 [ 

Die Ausgangsgleichung hat also nur für a ∉ [ -2 ; 2 ] keine Lösung 

Gruß Wolfgang

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Danke, MatheMB!  Deine Antwort löste genau mein Problem! GR

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Hallo Wolfgang,

alle Deine Fallunterscheidungen sind überflüssig, oder sogar falsch.

Dass \( a^2-4 \) nicht 0 werden darf sieht man am Nenner.

Dass \( a^2-4 > 0 \) sein muss sieht man am Radikanten.

Für (vereinfacht) \( t^2 = 4 \) gilt \( t = \pm 2 \). Dafür braucht man keinen Betrag und keine Fallunterscheidung, dafür gibt es Regeln.

Eine Fallunterscheidung für \( t \) ist sogar falsch, da Sinn und Zweck der Rechnung ist, Bedingungen für \(t\) zu finden, keine Bedingungen von \(t\).

Ansonsten solltest Du meinen Satz unterhalb der Rechnungen genau lesen, denn Deine Behauptung passt nicht dazu.

Und mein Rechenansatz und -weg ist genau richtig. Den kannst Du sogar noch weiter verallgemeinern mit der Frage: Durch welche Punkte (überhaupt und nicht nur auf der x-Achse) läuft eine Scharkurve oder eben nicht?

Grüße,

M.B.

Answer 2

t * x + 2√(t² + 1) = 0

t=0   →  2√(t² + 1) = 0  falsch für alle t

               →  die Geradenschar hat keine Nullstellen.  

t≠0   →   x = 2√(t² + 1) / t  ist eine Nullstelle der Geradenschar

f:  ℝ \ {0} → ℝ ; f(t) =  2√(t² + 1) ; f '(t) = - 2/(t²·√(t² + 1)) kleiner als 0 für alle t ∈ D_f

→  f ist jeweils streng monoton fallend in ] - ∞ ; 0 [  und ] 0 ; ∞ [

lim_t→0+  f(t)  = lim_t→0+  2 / t  = ∞ 

lim_t→0-  f(t)  = lim_t→0-  2 / t  =  - ∞ 

lim_t→±∞ f(t) = lim_t→±∞  [ (2 * |t| * √(1 + 1/t²) / t ] = ± 2 

x nimmt also genau alle Werte  aus  [ -2 ; 2 ]  nicht an

Gruß Wolfgang