Vollständige Induktion. "Für alle ∈N ... Summenformel geometrische Reihen zeigen.

Question

Hey kann mir jemand diese Aufgabe erklären?:

$$Für\quad alle\quad ∈ℕ\quad und\quad q∈ℝ\setminus \left\{ 0,1 \right\} \quad gilt:\quad \sum _{ i=0 }^{ n }{ { q }^{ i } } =\frac { 1-{ q }^{ n+1 } }{ 1-q }$$ 

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Beweis mit vollständiger Induktion...

Stichworte: induktion,vollständige

Beweis mit vollständiger Induktion:

Wie lautet die Induktionsvoraussetzung und der Induktionsschritt?

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schau mal hier nach:

https://www.mathelounge.de/394831/vollstandige-induktion-summenforme…

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Vom Duplikat:

Titel: Geometrische Reihe: Beweise anhand der vollständigen Induktion, dass die Summenformel allgemeingültig ist

Stichworte: geometrische-reihe,grenzwert,summe

Aufgabe:

Hinweis: Ich weiß, dass der Summenindex bei i=0 startet.

Geometrische Reihe:

$$\sum _ { i = 0 } ^ { \infty } q ^ { i } = \frac { 1 } { 1 - q }$$ q ∈ (−1,1)

1. Beweise anhand der vollständigen Induktion, dass die Summenformel allgemeingültig ist:

$$\sum _ { i = 0 } ^ { n } q ^ { i } = \frac { 1 - q ^ { n + 1 } } { 1 - q }$$ für alle n ∈ N und q ≠ 1 nachzuweisen.

2. Benutze die Summenformel und Grenzwertsätze, um den Grenzwert von

 $$\sum _ { i = 0 } ^ { \infty } q ^ { i } = \lim _ { n \rightarrow \infty } \sum _ { k = 0 } ^ { n } q ^ { k } = \frac { 1 } { 1 - q }$$

für q ∈ (−1,1) abzuleiten.

Answer 1

Induktionsanfang: Du zeigst dass diese Gleichung für n=0 gilt. 

Induktionsbehauptung: Du behauptest dass die Gleichung für n=k gilt. 

Induktionsschritt: Du zeigst dass die Gleichung für n=k+1 gilt indem du die Induktionsbehauptung benutzt.  

Comments

Die Schritte kenne ich. Nur wie wende ich das an? Nehmen gerade neu die Vollständige Induktion durch.

 

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Induktionsanfang: Für n=0 haben wir folgendes: $$\sum_{i=0}^0q^i=\frac{1-q^{0+1}}{1-q}\Rightarrow q^0=\frac{1-q^1}{1-q}\Rightarrow 1=1 \checkmark$$

Induktionsbehauptung: Wir behaupten dass die Gleichung für n=k gilt, also es gilt dass  $$\sum_{i=0}^nq^i=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$$ 

Induktionsschritt: Wir zeigen dass die Gleichung für n=k+1 gilt, also wir wollen zeigen dass

$$\sum_{i=0}^{n+1}q^i=\frac{1-q^{n+2}}{1-q}$$ 

$$\sum_{i=0}^{n+1}q^i=\sum_{i=0}^nq^i+q^{n+1} \ \ \overset{\text{ Induktionsbehauptung }}{ = } \ \ \frac{1-q^{n+1}}{1-q}+q^{n+1} \\ =\frac{1-q^n+1}{1-q}+q^{n+1}\frac{1-q}{1-q} \\ =\frac{1-q^{n+1}+q^{n+1}-q^{n+1}q}{1-q} \\ =\frac{1-q^{n+2}}{1-q}$$

Answer 2

Hallo

 für die Induktion musst du doch nur auf beiden Seiten qⁿ⁺¹ addieren, dann rechts auf den Hauptnenner bringen und fertig. der GW für q<1 von qⁿ ist 0.

Gruß lul

Comments

Mein Problem ist der Schritt, dass es ersichtlich wird ....

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Ich wollte gerade die selbe Aufgabe stellen ...:D

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Dann haben wir wahrscheinlich beide die selbe HA, aber anscheind werden wie kein Ergebnis haben haha

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Jap...leider

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Soll ich die Frage einfach noch mal stellen ?

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Ne sonst wird die gelöscht, vielleicht kommt ja noch was

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Orientiert euch schon mal an ähnlichen Fragen. Bsp. https://www.mathelounge.de/394831/vollstandige-induktion-summenforme…

Dann könnt ihr immer mal nochmals nachhaken.