Um das, was Lu gesagt hat, noch etwas auszuführen:
Der Abschluss von \(\mathbb Q\) in \(\mathbb R\) ist ganz \(\mathbb R,\) kurz \(\overline{\mathbb Q}=\mathbb R.\) Damit gibt es zu jedem \(r\in \mathbb R\) eine Folge in \(\mathbb Q,\) die gegen \(r\) konvergiert. Dass es zumindest eine solche Folge gibt, zeigt schon die Dezimaldarstellung der reellen Zahl: \(r=m.d_1d_2d_3...\) (\(m\) hier eine natürliche Zahl, \(d_i\) eine Ziffer von \(r\)):
\( r=\underset{n\in\mathbb N}{\sup (b_n)} \) mit \(b_0=\lfloor r\rfloor\) (\(r\) abgerundet) und \(b_n=b_0+\frac1{10}d_1+...+\frac1{10^n}d_n\) (jedes \(b_n\) hat eine Dezimalstelle von \(r\) mehr, bricht aber immer noch nach endlich vielen Dezimalstellen ab und ist daher ein Bruch mit einer Zehnerpotenz im Nenner). Da wir die Dezimalstellen abschneiden, also immer abrunden, nähern wir uns \(r\) von unten, deshalb kann ich den Grenzwert auch als Supremum schreiben.
Jetzt bildet aber \(a\!:\mathbb N\rightarrow\mathbb Q\) auf alle rationalen Zahlen ab, also gibt es zur Folge \(c_n=a(n)\) eine Teilfolge \(\{n_k:k\in \mathbb N\}\), nämlich \(n_1=a^{-1}(b_0), n_2=a^{-1}(b_1), ...\) (\(a\) ist nach Voraussetzung bijektiv), sodass die Folge \((c_{n_k})_{k\in \mathbb N}\) gegen \(r\) konvergiert. Da \(r\in \mathbb R\) beliebig war, ist somit jedes \(r\in \mathbb R\) Häufungspunkt der Folge \(c_n.\)
