Auflösen einer bestimmen Gleichung y^{-2} + 2y^{-1} - 15 = 0

Question

If \( y^{-2}+2 y^{-1}-15=0 \), which of the following could be the value of \( y \) ?

(A) \( 3 \)
(B) \( \frac{1}{5} \)
(C) \( -\frac{1}{5} \)
(D) \( -\frac{1}{3} \)
E) \( -5 \)

Bei der Aufgabe kann man natürlich alle Antwortmöglichkeiten ausprobieren, aber dass dauert doch zu lang.. wenn ich die Gleichung nach y = auflösen will komme ich immer zum schluss auf:

y^3 = 0,2 Die Lösung soll aber c) -1/5 sein, wenn ich die dritte wurzel aber aus 0,2 ziehe um y= zu bekommen, komme ich natürlich nicht auf -1/5 oder -0,2.

Answer 1

Wir müssen gar nicht mit y^3 kämpfen :-)

 

y^{-2} + 2 * y^{-1} - 15 = 0

kann geschrieben werden als

1/(y^2) + 2/y - 15 = 0

Alles mit y^2 multiplizieren ergibt

1 + 2y - 15y^2 = 0

Dividieren durch -15 und umstellen ergibt

y^2 - 2/15 * y - 1/15

p-q-Formel:

y1 = 1/15 - √(1/225 + 15/225) = 1/15 - 4/15 = -3/15 = -1/5

y2 = 1/15 + √(1/225 + 15/225) = 1/15 + 4/15 = 5/15 = 1/3

 

Da 1/3 nicht zur Wahl steht, bleibt nur -1/5

Answer 2

Ein Alternativvorschlag.

 

Für jene, die nicht mit y^2 muliplizieren wollen, kann man auch 1/y=u setzen. Dann kann man direkt die pq-Formel anwenden:

 

u^2+2u-15=0    |pq-Formel

u₁=-5 und u₂=3

 

Nun wieder den Kehrwert bilden (aus der Substitution): y₁=-1/5 und y₂=1/3.

 

y₁ ist aufgelistet und damit des Rätsels Lösung.

 

Grüße