Ausdrücke sinnvoll umformen: 1. f(x) = (1 - cos x) / sin x und 2. 3.Wurzel von(1+x) - 1

Question

Hallo. Hoffentlich könnt ihr mir helfen.

1.  f(x) = (1 - cos x) / sin x

2. 3.Wurzel von(1+x) - 1

Es werden jeweils Werte sehr nahe 0 eingesetzt und es soll sinnvoll umgeformt werden. 

Wenn gerundet wird, soll nicht 0 rauskommen

Answer 1

 f(x) = (1 - cos x) / sin x   vielleicht erweitern mit 1 + cos(x) gibt

= (1 - cos²(x))  /   ( sin(x) * ( 1 + cos(x) )

= sin²(x) /   ( sin(x) * ( 1 + cos(x) )

= sin(x) /  ( 1 + cos(x)

für x ungefähr gleich 0 ist cos(x) ungefähr 1, das ganze also

ungefähr    sin(x) / 2 , letztendlich aber auch ungefähr 0.

Aber jedenfalls nicht mehr ein Bruch von der Art   0 / 0 .

Hilft das ?

 

Answer 2

a)

nutze die Halbwinkelformel umgekehrt:

$$ \frac { 1-cos(x) }{ sin(x) }= \frac { 1-(1-2sin^2(x/2)) }{ 2sin(x/2)cos(x/2) }\\=\frac { sin(x/2) }{ cos(x/2) }=tan(x/2) $$

Für x nahe 0:

tan(x/2)≈x/2