Aussage beweisen: ∑∞n=1 a_(n) ist konvergent ⇒ ∑∞n=1 a^2_(n) ist konvergent

Question

beweisen sie dass diese aussage richtig ist

∑∞_n=1 a_n ist konvergent ⇒ ∑∞_n=1 a²_n ist konvergent

Comments

möglicher Weise damit:

https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchy-Produktformel

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möglicher Weise damit: ...

Ganz gewiss damit :  Majorantenkriterium

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das gilt wenn die Reihe absolut konvergiert ist. oder ist das auch möglich wenn die nicht absolut konvergiert?

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Das ist genau das, was mich auch etwas stört.

andererseits ist ja bei den Quadraten nicht negatives dabei.

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kannst du die lösung schreiben fall sie absolut konvergiert ist?

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@Gast hj2166: Sicher, dass die Aussage mit dem Majorantenkriterium zu zeigen ist?
Ist nicht \(a_n=\large\frac{(-1)^n}{\sqrt n}\) ein Gegenbeispiel?
Die Aussage gilt wohl nur, wenn die Reihe \(\sum\vert a_n\vert\) konvergent ist.

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Du hast Recht.
Heute scheint wirklich nicht mein Tag zu sein.

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bis jetzt verstehe ich nicht wie ich die aufgabe lösen kann. kann jemand bitte eine Antwort schreiben.

Answer 1

So vielleicht: Die Konvergenz der Reihe impliziert, dass die Folge \(a_n\) beschränkt ist, d.h. \(\vert a_n\vert< K\). Damit gilt \(\sum\vert a_n^{\,2}\vert=\sum\vert a_n\vert\cdot\vert a_n\vert<\sum K\cdot\vert a_n\vert=K\cdot\sum\vert a_n\vert\).

Comments

kann ich die Aussage widerlegen mit Majorantenkriterium? und wie?

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Die Aussage ist damit für absolut konvergente Reihen mithilfe des Majorantenkriteriums bewiesen. Die Aussage wird falsch, wenn auf die Bedingung, dass die Konvergenz absolut ist, verzichtet wird, wie obiges Gegenbeispiel zeigt.

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das Beispiel ist ein widerspruch für ∑∞_n=1 an ist absolut konvergent. habe ich das richtig verstanden?was soll ich machen wenn die selbe Reihe nicht absolut konvergent sondern nor konvergent? soll ich beweisen oder auch widerlegen?

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Es ist umgekehrt. Die Aussage gilt nur, wenn die Reihe absolut konvergent ist. In diesem Fall ist die Reihe \(\sum K\cdot\vert a_n\vert\) eine konvergente Majorante. Die Aussage, wie in deiner Frage formuliert, ist falsch. Obiges Gegenbeispiel zeigt eine konvergente Reihe, deren Konvergenz nicht absolut ist, für die die Aussage nicht gilt.