Funktion f(x) = x^{3}-3x^{2}+2x. Weisen Sie die Art des Extremums nach.

Question

Aufgabe 5:

Gegeben ist die Funktion \( \mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{3}-3 \mathrm{x}^{2}+2 \mathrm{x} \).

Ermitteln Sie den Wert \( \mathrm{u}, \mathrm{u}>0 \), für welchen der Flächeninhalt des Dreiecks \( \mathrm{O}(0 \mid 0), \mathrm{P}(\mathrm{u} \mid 0), \mathrm{Q}(\mathrm{u} \mid \mathrm{f}(\mathrm{u})) \) maximal ist. Weisen Sie die Art des Extremums nach.

Aufgabe 6:

Man kann die Stammfunktion von \( f(x)=\operatorname{Exp}\left(-x^{2}\right) \) nicht in der üblichen Form, d.h. ohne Verwendung des Integralzeichens hinschreiben (man kann'es ja mal versuchen).

a) Berechne \( \int \limits_{0}^{5} e^{-x^{2}} d x \) mit dem TR.

b) Nähere \( \int \limits_{0}^{5} e^{-x^{2}} d x \) durch \( \left(U_{n}+O_{n}\right) / 2 \) für \( n=4 \) und \( n=5 . \) (Mit TR: \( \Sigma \) )

c) Vergleiche.

Answer 1

Zeichne den Graphen von f(x). Der geht übrigens durch O(0/0). Der Punkt P/u/0) liegt auf der x-Achse und Q(u/f(u)) liegt senkrecht darüber oder darunter auf dem Graphen von f(u), Dann ist u die Grundseite des Dreiecks und f(u) seine Höhe, F(u)=1/2·u·(u³-3u²+2u) ist dann die Fläche, welche hier maximal werden soll.

Nullstellen der Ableitung bestimmen und in die 2.Ableitung und in die Funktionsgleichung einsetzen. Achtung! Es handelt sich um ein lokales Maximum bei u₁≈0,61 und um ein lokales Minimum bei u₂≈1,64, welches aber bezogen auf den Flächeninhalt des Dreiecks ebenfalls einen größtmöglichen Flächeninhalt nach sich zieht. Ein globales Maximum gibt es nicht, da für große u auch ein großes Dreieck entsteht. Für u₃=0 ergibt sich kein Dreieck.