betragsfunktion in abschnittsweise definierte funktion umwandeln

Question

h(x)= I x^2-x-2 I

-Wandele die betragsfunkton in eine abschnittsweise definierte funktion um

- zeichne es in einen graphen

- untersuche die funktion auf stetigkeit an der stelle x=1

Answer 1

h(x) = |(x-2)(x+1)|

Mach ein Fallunterscheidung

1. Fall.

|....|>=0

2. Fall:

|....| <0

Answer 2

f(x)=-x²+x+2 für -1<x<2

f(x)=x²-x-2 sonst

Der Graph entsteht aus dem Graphen von f(x)=x²-x-2, wenn man das Kurvenstück von -1 bis 2 an der x-Achse spiegelt. An der Stelle x=1 ist die Funktion stetig.

Answer 3

entscheidend für den Betrag ist, ob das Argument positiv oder negativ ist.

Betrachte also

x^2-x-2>=0

(x-2)(x+1)>=0

---> x<=-1, x>=2

Dann gilt also |x^2-x-1|=x^2-x-1, ansonsten |x^2-x-1|=-x^2+x+1

--> f(x)={ -x^2+x+1 wenn x∈(-1,2)

              x^2-x-x sonst

~plot~ sqrt((x^2-x-1)^2) ~plot~

Die Funktion ist überall stetig, weil es eine Polynomfunktion verkettet mit einer Betragsfunktion ist (beide Typen sind für alle x∈ℝ stetig). Also auch in x=1