R-Vektorraum mit Vektoraddition und Skalarmult. Welche der folgenden Aussagen sind richtig?

Question

Welche der folgenden Aussagen sind richtig? Beweisen Sie jeweils Ihre Behauptung.

 

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Welche der folgenden Aussagen sind richtig? Beweisen Sie jeweils Ihre Behauptung

   

Answer 1

Um zu beweisen, dass es sich um Vektorräume handelt, musst du die acht Axiome einzeln beweisen (wenn es kein Vektorraum ist, würde es natürlich ausreichen, ein Axiom zu widerlegen). Bei (b) ist es hilfreich sich erst zu überlegen, welche Vektoren in dem Vektorraum sind, also für welche x,y∈ℚ die Gleichung x²=-y² erfüllt ist. Sowohl (a) als auch (b) sind meines Erachtens Vektorräume

Als Beispiel beweise ich mal ein Axiom für (a):

$$\text{Zu zeigen: }\quad\lambda \odot \left( v_1 \oplus v_2\right) = \lambda\odot v_1 \oplus \lambda\odot v_2 \text{  für alle  }\lambda \in \mathbb{R} \text{  und  } v_1,v_2\in V_1$$

$$v_1 = a_1, \quad v_2 = a_2, \quad a_1,a_2 \in \mathbb{R}^+\\ \lambda \odot \left( v_1 \oplus v_2\right) =\left( a_1 \cdot a_2\right)^{\lambda}= a_1^\lambda\cdot a_2^\lambda=\lambda\odot v_1 \oplus \lambda \odot v_2$$

Comments

Meiner Meinung nach ist (i) kein Vektorraum, da λ ⊗ (μ ⊗v ) = (λ ⊗ μ ) ⊗ v ( λ,μ ∈ ℝ, v ∈ V₁) nicht gilt.

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Gilt meines Erachtens, oder wo is mein Fehler?

$$\lambda \odot (\mu \odot v) = \left(a^\mu\right)^\lambda=a^{\lambda\cdot\mu}=(\lambda \cdot \mu)\odot v$$

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Du hast gezeigt das λ ⊗ (μ ⊗v ) = (λ * μ ) ⊗ v gilt, ich habe gedacht man muss zeigen das λ ⊗ (μ ⊗v ) = (λ ⊗ μ ) ⊗ v gilt. Ich bin mir nicht sicher ob das was ich zeigen wollte überhaupt zu zeigen ist.

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Das, was du geschrieben hast, ist nicht definiert, da \(\odot : K\times V\rightarrow V\) ist. Bei der Multiplikation der Skalare, muss die Multiplikation aus dem entsprechendem Körper benutzt werden.

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Okay du hast Recht! Dann sind (i) und (ii) beides Vektorräume.