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Berechen Sie alle Intervalle, in denen die Funktion f3 = (x3 -5)/(x3 +x2 -4x +6) monoton steigend sind.

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Hallo ziom,

Bild Mathematik

f(x)  =  (x3 - 5) / (x3 + x2 - 4x + 6)  ,  Monotonieintervalle ↑

Die x-Achse wird durch die Definitionslücken und die Nullstellen von f ' in Intervalle unterteilt, in denen die Steigung f ' ein konstantes Vorzeichen hat, das man durch einfaches Einsetzen von Werten aus den einzelnen Intervallen in die Funktionsgleichung herausfinden kann. So findet man alle Monotonieintervalle mit dem zugehörigen Steigungungsverhalten.

Definitionslücken:

x3 + x2 - 4x + 6 = 0

Man findet  x = 3  (Teiler von 6)  durch Probieren und führt dann die Polynomdivision

(x3 + x2 - 4x + 6) : (x + 3) =  x2 - 2·x + 2  durch.

x2 - 2·x + 2 = 0 ergibt dann keine weiteren reellen Nullstellen.

Nullstellen von f ':

f '(x) = (x4 - 8·x3 + 33·x + 10·x - 20) / (x3 + x2 - 4·x + 6)2  = 0

 ⇔D   x4 - 8·x3 + 33·x + 10·x - 20 = 0

Die beiden reellen Lösungen  x1  ≈ 0,6853703660  ;  x2  ≈ - 0,8380768377

findest du am einfachsten mit einem Näherungsverfahren (z.B. Newtonverfahren)

Gruß Wolfgang

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Können Sie mir sagen, wie Sie auf x4 - 8·x3 + 33·x + 10·x - 20 gekommen sind?
Für Ihre Hilfe bedanke ich mich im Voraus.

Quotientenregel:

[ u / v ] ' = ( u ' * v - u * v ' ) / v2

In der Klammer (...)   Zähler und Nenner - bzw. deren Ableitungen - einsetzen, Klammern auflösen und zusammenfassen.

Können Sie mir noch sagen , mit welchem Gleichung auf  - 0,8380768377 gekommen sind?

 x4 - 8·x3 + 33·x + 10·x - 20 = 0

Die beiden reellen Lösungen  x1  ≈ 0,6853703660  ;  x2  ≈ - 0,8380768377

findest du am einfachsten mit einem Näherungsverfahren (z.B. Newtonverfahren)

Newtonverfahren:

 Nullstellen von  f(x) =  x4 - 8·x3 + 33·x + 10·x - 20 

 Ausgehend von einem (möglichst guten) Startwert, den man z.B zwischen zwei x-Werten findet, deren Funktionswerte verschiedenes Vorzeichen haben, findet man - auch mit einem einfachen Taschenrechner -  immer bessere Werte mit der Formel

xneu =  xalt - f(xalt) / f ' (xalt)

Du weißt allerdings i.A. nicht, ob du alle NS gefunden hast (hier gibt es nur 2 ) und manchmal konvergiert das Verfahren nicht (wenn du für xalt zum Beispiel einen Extrempunkt erwischt).

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