Beweis (a+b)^5 = a^5 + b^5 (mod 5)

Question

Beweisen, dass für beliebige a, b ∈ ℤ die Gleichung (a+b)⁵ = a⁵ + b⁵ (mod 5) gilt

pascalsch. dreieck liefert a⁵+5 a⁴ b+10 a³ b²+10 a² b³+5 a b⁴+b⁵ 

hier ist erstmal alles außer a⁵ +b⁵ durch 5 teilbar. reicht das als Beweis?

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Genauere Version

Titel: Gruppen - Im Ring (Z5,+,·) zeigen oder widerlegen, dass (a + b)^{5} = a^{5} + b^{5}

Stichworte: gruppen,modulo,hoch

Aufgabe:

A. Im Ring (Z₅,+,·) zeigen Sie (indem Sie beide Seiten ausrechnen), dass

(1 + 2)^5 = 1^5 +2^5.

B. War das in (A.) ein ”Zufall”, oder steckt mehr dahinter? Um das zu klären: Beweisen Sie, dass für alle a,b∈Z5 gilt

(a + b)^5 = a^5 + b^5, oder widerlegen Sie diese Aussage, indem Sie ein Gegenbeispiel finden.

Anmerkung zu A13 : Addition ’+’ und Multiplikation ’·’ in Z_n sind, wie immer, ”modulo n” gemeint, und k^5 = k ·k ·k ·k ·k.

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Ruhig nochmals nachfragen bei der früheren Frage, falls etwas unklar ist.

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@Lu: Die Frage von poca war wesentlich besser und detailreicher gestellt als die alte Frage aus 2016. Zudem hat der Frager von 2016 seine Aufgabe ja schon im wesentlichen selbst gelöst. Ein Link darauf wäre also angemessen gewesen.

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@az0815: Gemäss Kais Anweisungen soll immer die "älteste Version" behalten werden.

Ich ergänze da gelegentlich die bessere Fragestellung, in dem Moment, wo ich die Fragen verschmelze, bzw. leite trotzdem auf die beste Frage um. (Nicht verraten ;)  ) 

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Vielen herzlichen für den Hinweis und die Hilfe. Ich hatte die ältere Aufgabe nicht gefunden.

Answer 1

hier ist erstmal alles außer a⁵ +b⁵ 

durch 5 teilbar. 

Also gilt   mod 5 :


(a+b)⁵

=  a⁵+5 a⁴ b+10 a³ b²+10 a² b³+5 a b⁴+b⁵ 

=a⁵+b⁵ .  q.e.d.