Matrix als Körper - Verständnisfrage

Question

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Ich hätte eine Verständnisfrage zu folgender Aufgabe:

(Leider kann man das Bild nicht sehen.. Zusammengefasst: Eine Menge von Matrizen der Form

a     b

-b   a

soll einen Körper bilden, bzw. genau das soll gezeigt werden. Die Menge von Matrizen ist Teilmenge der Menge R 2x2 und es darf benutzt werden, dass R 2x2 ein Ring ist)

Hierzu die Frage: Würde ich jetzt lediglich Kommutativität zeigen, so hätte ich den Beweis doch nur für R 2x2 erbracht aber nicht für die fragliche Menge, korrekt?

Vielen Dank vorab!

Answer 1

> Würde ich jetzt lediglich Kommutativität zeigen, so hätte ich den Beweis doch nur für R 2x2 erbracht.

Nein, du hättest den Beweis nicht nur für ℝ^2×2  erbracht. Du hättest den Beweis auch für alle Teilmengen von ℝ^2×2 erbracht.

Allerdings wirst du große Probleme haben, Kommutativität der Matrixmultiplikation in ℝ^2×2 zu zeigen, dass also $$\begin{pmatrix}a & b\\ c & d \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}e & f\\ g & h \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}e & f\\ g & h \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}a & b\\ c & d \end{pmatrix}$$

für alle reellen Zahlen a, b, c, d, e, f, g, h gilt. Zeige stattdessen Kommutativität in der betrachteten Menge, dass also $$\begin{pmatrix}a & b\\-b & a\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}c & d\\-d & c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}c & d\\-d & c\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}a & b\\-b & a\end{pmatrix}$$ ist. Außerdem musst du natürlich noch zeigen, dass jedes Element aus der betrachteten Menge invertierbar ist, dass es also eine Matrix C gibt, so dass $$\begin{pmatrix}a & b\\-b & a\end{pmatrix}\cdot C=\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}$$ ist.

Und auch dass de fragliche Menge ein Teilring ist musst du noch zeigen.

Spoiler Alert: Die Menge der Matrizen der Form \(\begin{pmatrix}a & b\\-b & a\end{pmatrix}\) ist isomorph zu den komplexen Zahlen.