eigenwerte und eigenräume von A^k berechnen

Question

man hat eine Matrix A und soll Eigenwerte und Eigenräume von A^k berechnen.

 Bei den Eigenwerten ist das ja kein Problem. Diese kann man dann ja "hoch k" nehmen und erhält entsprechend die Eigenwerte von A^k.

 Aber wie verhält es sich mit den Eigenräumen? Gibt es da auch eine Art Übergangsregel wie sich die Eigenräume von A^k aus denen von A ergeben? Oder muss man dann doch zuerst ganz normal A^k berechnen und dann Eigenwerte und Eigenräume?

Answer 1

An den Eigenvektoren , damit auch an den Eigenräumen , ändert sich nichts.

Wenn x ein Eigenvektor für A ist ( etwa zum EW  s ) 

Dann ist  A^k*x = s^k * x  also das gleiche x auch Eigenvektor zu  s^k .

Comments

Also die Eigenwerte muss ich einfach ^k nehmen und die Eigenvektoren darf ich einfach von A übernehmen? Ist das richtig so?

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genau so ist es.

kannst ja mal testen, etwa A hat Eigenvektor x zum EW s

Dann gilt ja  A*x = s*xund A² * x = A * ( A * x ) = A* (s*x)  =  s* (A*x) = s* (s*x)  = s² *xalso ist das gleiche x auch Eigenvektor zum EW s^2.etc.