Wurzel (1+x) =1+x/2 +o (x) ohne Differentialrechnung beweisen

Question

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Ich bin mir bei der im Titel beschriebenen Aufgabe sehr unsicher, ob meine Überlegungen korrekt sind.

Also Wurzel (1+x ) = 1+ x/2 + o (x) für x -> 0 soll bewiesen werden.

D.h. da wir mit dem "klein o" Landau Symbol arbeiten, ist das Gleichheitszeichen ja eigentlich nicht unbedingt korrekt, das wäre meine erste Frage die ich mir stelle.

Nun zu meinem Ansatz:

Die Formel lässt sich umschreiben in

Lim x->0  ((Wurzel 1+x -1 - x/2) / ×) =0

Weiter hätte ich jetzt einfach den Term aufgeteilt ( ist ja möglich durch gleichen Nenner)

Also Lim x->0 (Wurzel 1+x / x) - Lim x->0 (1/x) - Lim x->0 ((x/2)/x) und das ist alles kleiner x

Somit ist Wurzel 1+x - 1 - x/2 = o (x)

Weiter weiß ich leider nicht :/

Bitte um Hilfe !!!

Answer 1

Wie Du selber sagst, musst Du $$\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x}-(1+x/2)}{x}=0$$ nachrechnen. Da hilft wieder der uralte Trick mit der dritten binomischen Formel.

Answer 2

Also du musst im Endeffekt das x/2  abspalten, sodass nur noch -1/2 hinter dem Term mit der Wurzel steht .

Dann erweiterst du mit der 3.binomischen Formel die linke Seite und schaust, dass du x ausklammerst (da das sonst Problemchen macht :D )

Kann das mit der Erweiterung jemand vielleicht reinstellen, ich kann mit dem Formeleditor irgendwie noch nicht umgehen, bin recht neu ^^