Bei einer linearen Abbildung die Basis zeigen

Question

folgende Frage:

Sei V ein 2-dimensionaler Vektorraum und L: V↦V eine lineare Abbildung mit L²=0, aber L≠0. Sei v ein Element von V mit L(v) ≠ 0. Sei w = L(v). Zeigen Sie, dass {v,w} eine Basis von V ist.

Ich weiß, dass ein 2-dimensionaler Vektorraum mindestens 2 linear unabhängige Vektoren als Basis braucht, doch in dieser Aufgabe brauche ich eine andere Lösung.

Vielen Dank

Comments

So vielleicht: \(x\cdot v=w\Rightarrow x\cdot L(v)=L(w)=L\big(L(v)\big)=0\Rightarrow x=0\).

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Aber L(v) ≠ 0 und wie zeige ich dann dass L² = 0 ist?

Answer 1

Wegen L²=0 ist L(w) = 0. Angenommen v, w sind linear abhängig. Sei dann a≠0 mit w = av. Dann ist 0 = L(w) = L(av) = aL(v) = aw ≠ 0.