basis des bildes einer matrix bestimmen

Question

angenommen man hat eine 4x4 Matrix mit reellen Koeffizienten und sucht eine Basis des Bildes.

Wenn man Zeilen-Stufenform hergestellt hat, kann man ja den Rang (=Dimension des Bildes) ablesen. Hat man nun beispielsweise Rang 2 mit Stufenbeginn in den ersten zwei Spalten. Kann man als Basis dann zum Beispiel den ersten und dritten Vektor der Ausgangsmatrix nehmen oder den ersten und vierten Vektor oder muss man die Vektor der Ausgangsmatrix wählen, welche in der Zeilen-Stufenform einen Stufenbeginn (z. B. erste und zweite Spalte) wählen?

Answer 1

> Hat man nun beispielsweise Rang 2 mit Stufenbeginn in den ersten zwei Spalten.

Dann bilden die ersten zwei Vektoren der Matrix in Zeilenstufenform eine Basis des Bildes. Aber nur ...

> Wenn man Zeilen-Stufenform hergestellt hat

... wenn man die Spaltenstufenform durch elementare Spaltenumformungen hergestellt hat.

Comments

Müssen es die ersten zwei sein? Kann man nicht den ersten und den dritten nehmen?Das war meine Frage :)

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Vertauschen von Spalten ist eine der erlaubten Spaltenumformungen. Wenn durch Vertauschen von zweiter und dritter Spalte die Stufenform erhalten bleibt, dann darfst du auch die erste und dritte Spalte nehmen.

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Und natürlich muss man Spaltenstufenform herstellen, nicht Zeilenstufenform.