Vereinfachung von Bruchtermen / Faktorisieren

Question

Ich weiß, dass man hier faktorisieren muss. Leider komme ich nicht auf das gewünschte Ergebnis bzw. weiß ich nicht, wie genau man hier richtig faktorisiert. Als Ergebnis kommt 1/14 raus. Ich würde mich super darüber  freuen, wenn mir jemand das Faktorisieren näher bringen könnte :)

Answer 1

f: ℝ \ { -4 ; 3 }  → ℝ

f(x)  = \(\frac{x-3}{2x^2+2x-24}\)  =  \(\frac{x-3}{2·(x^2+x-12)}\)  =_#  \(\frac{x-3}{2·(x-3)·(x+4)}\)  =  \(\frac{1}{2·(x+4)}\)

lim_x→3 f(x)  =  \(\frac{1}{2·(3+4)}\) = \(\frac{1}{14}\) 

-----------

#

Da der Nenner beim Einsetzen von x=3 den Wert 0 hat, muss er den Linearfaktor x-3 enthalten:

x² + x - 12  =  (x - 3) * ( x + a)   =  x² + ax  - 3x - 3a  =  x² + (a-3) ·x - 3a  

→  3a = 12  →  a = 4

Gruß Wolfgang

Comments

Hallo Wolfgang,

eine Frage zum angegebenen Def Bereich in der Frage

ich kenne die Bedeutung der Klammerungsarten

[ ]
( ) ( in meinen Augen völlig überflüssig )

{ } was bedeutet diese Klammerung jetzt
{ -4 ; 3 }
einschließlich 4 und einschließlich 3
also
[ -4 ; 3 ]

mfg

---

{ -4 , 3 } ist die Menge, die nur die beiden Zahlen -4 und 3 enthält.

ℝ \ { -4 , 3 }  ist also die Menge ℝ ohne  die Nullstellen des Nenners. 

Answer 2

Wie faktorisiert man?

Polynome 2. Grades faktorisiert man z.B. mit den Lösungen x₁, x₂ einer quadratichen Gleichung "Term=0". Dann ist (x-x₁)(x-x₂) die Zerlegung. Oder mit dem Satz von Vieta (wenn bekannt).

Polynome 3. Grades zerlegt man z.B. mittels Ausklammern von x (wenn das geht). Nächste Möglichkeit: Eine Nullstelle x₁ raten und dann Polynomdivision durch (x-x₁). Dritte Möglichkeit: Cardanische Formel awenden, wenn bekannt. Und letztlich hilft auch ein GTR.

Polynome 4. Grades haben entweder nur gerade Exponenten, dann Substitution x²=z  oder nur ungerade Exponenten, dann x Ausklammern. Wenn Gerade und Ungerade Exponenten vorkommen, hilft nur noch Raten mit Polynomdivision (oder der GTR).

Answer 3

Du weißt bereits durch Einsetzen, dass die Stelle \(x=3\), an der der Grenzwert bestimmt werden soll, nicht nur Nullstelle des Zählers ist, sondern auch eine Nullstelle des Nenners. (Andernfalls wäre der Grenzwert ohnehin null und es gäbe nichts zu tun.) Mit der Kenntnis der Nennernullstelle könntest du den Nenner ein wenig umformen,

$$ f(x) = \dfrac{x-3}{2x^2+2x-24} $$indem du zunächst den linearen Summanden zerlegst

$$ f(x) = \dfrac{x-3}{2x^2-6x+8x-24} $$ und sodann die Teilsummen faktorisierst.

$$ f(x) = \dfrac{x-3}{2x(x-3)+8(x-3)} = \dots$$Nun lässt sich offenbar der Linearfaktor \((x-3)\) im Nenner ausklammern und herauskürzen, so dass danach der Grenzwert durch Einsetzen bestimmt werden kann.

Answer 4

...wie genau man hier richtig faktorisiert. Als Ergebnis
kommt 1/14 raus. Ich würde mich super darüber 
freuen, wenn mir jemand das Faktorisieren näher
bringen könnte :)

Du machst eine Polynomdivision um zu sehen
ob der Zähler im Nenner steckt

2*x^2 + 2x - 24 : x - 3 = 2x + 8
2x^2 - 6x
------------
            8x - 24
        - | 8x - 24
        ------------

2x + 8 = 2 * ( x + 4 )

( x -3 ) / ( 2 * ( x - 3 ) * ( x + 4 ) )