Differenzierung: h: (-1,1) -> (-pi/2, pi/2), h(x) := arcsin(x)

Question

generell kann ich eigentlich Ableitungen, jedoch bin ich hier etwas überfragt.

HIer nochmal im Formeleditor aufgeschrieben:
$$h: (-1,1)\to(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}), h(x) := arcsin(x) = (sin|_(-_\frac{\pi}{2},_\frac{\pi}{2})(x))^{-1}$$ (sorry, dass beim sin hinten die eine schließende Klammer nicht tiefergestellt ist, irgendwie wollte das nicht hinhauen)

Ich weiß, dass die Ableitung vom arcsin(x)
$$\frac {1}{\sqrt { 1 - x² }}$$ jedoch weiß ich nicht, was ich mit:
$$h: (-1,1)\to(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$$ anfangen muss.

Oder tut das hier nichts zur Sache und ist nur bei der untersuchung der Differenzierbarkeit wichtig? Wenn ja, wie untersuche ich dann die Differenzierbarkeit?

Liebe Grüße und ein großes Danke schonmal

Answer 1

Erst mal die Graphen: Eine Sinuskurve und dann die Einschränkung, die man bei der Definition der Umkehrfunktion gemacht hat. Die Sinuskurve hat den Stellen x=±π/2 die Ableitung 0. Daher wird die Umkehrfunktion, da die Umkehrung auf eine Spiegelung an x=y rausläuft dort eine nicht definierte Steigung haben. Im Bereich von -1 < x < 1 ist die Steigung von h(x) = arcsin(x) definiert und du kannst sie sogar mit deiner Formel ausrechnen. 

Plotlux öffnen

f₁(x) = asin(x)f₂(x) = sin(x)x = π/2x = -π/2f₃(x) = π/2f₄(x) = -π/2

Beachte: asin(x) benutzt nur dieser Plotter. Du solltest arcsin(x) schreiben. 

Comments

Okay das ist einleuchtent. Ich tu mich jetzt jedoch schwer, warum der Definitions- und Wertebereich überhaupt so gelegt wurde (also jetzt in dieser Aufgabe, allgemein is das ja was anderes)

Weil die Aufgabe lässt sich ja dann simple (natürlich besser beschrieben) damit lösen, 1. Ja ist dif'bar weil arcsin(x) dif'bar ist und 2. Die Ableitung is wie oben beschrieben. Oder gibt es hier einen Haken den ich nicht sehe/begreife?

(Danke dir übrigens fürs anschaulich machen, machts gleich einfacher zu verstehen)

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"warum der Definitions- und Wertebereich überhaupt so gelegt wurde "

Wenn du eine Umkehrfunktion definieren möchtest, musst du sicherstellen, dass jedem x-Wert des Definitionsbereichs genau ein y-Wert zugeordnet wird. - Sonst ist es gar keine Funktion. 

Angenommen du möchtest, dass arcsin(0) = 0 gilt. Dann wäre maximal der Definitionsbereich [-1,1] mit dem Wertebereich [-π/2 , π/2] möglich. Du kannst aber jeden beliebigen Abschnitt aus der Sinuskurve umkehren, solange er z.B. nur fällt oder nur steigt. 

Die Eckpunkte wurden in der Fragestellung vermutlich weggelassen, weil du etwas über die Differenzierbarkeit von h aussagen sollst und h in x=1 und x=-1 keine definierte Steigung hat.

Leider hast du in deiner Frage nicht genau angegeben, was ihr machen sollt. Sieht so aus, als ob ihr h ableiten sollt und du hast die Ableitung von h angegeben. Dann bist du fertig. 

Kann allerdings sein, dass du genau diese Formel herleiten sollst, wie man Ableitungen von Umkehrfunktionen halt herleitet oder auch, dass du beweisen sollst, dass h (so wie es definiert ist) überhaupt differenzierbar ist. 

Schau vielleicht mal hier: https://www.mathelounge.de/312318/differenzierbarkeit-von-arcsin-in-…

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Entschuldige für die späte Antwort, hatte ein anstrengendes Wochenende.

HAb ich tatsächlich vergessen die ganze Aufgabenstellung anzugeben. 
Die lautet wie folgt:

Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf Di erenzierbarkeit und berechnen Sie gegebenenfalls die Ableitung der Funktion.

Ich soll also überprüfen ob eine Funktion differenzierbar ist. Damit hab ich eben noch probleme, weil ich nicht genau weiß wie ich das angehen soll. In unserer Übung haben wir das für sin(x) so gemacht:

$$\lim _{ x\rightarrow { x }_{ o } }{ \frac { \sin { (x) } -sin({ x }_{ 0 }) }{ x-{ x }_{ 0 } } }$$

Wobei wir dann am ende richtigerweise auf cos(x) gekommen sind. 

Wie gehe ich das aber nun hier am besten an? Ich hab das gefühl, der Definitionsbereich verwirrt mich mehr als er sollte!

Answer 2

Bei x=1 und x=-1 liegen Definitionslücken der Funktion h. Dort ist h weder definiert noch differenzierbar.