Entscheiden Sie ob die folgenden Abbildungen eine Norm in R^3 sind. Bsp. N1: ℝ3-->ℝ, (x1,x2,x3) -->|(x1+x2+x3)/3|

Question

Entscheiden Sie ob die folgenden Abbildungen eine Norm in ℝ₃ sind. Beweisen Sie jeweils Ihre Entscheidung.

1. N1: ℝ³-->ℝ, (x₁,x₂,x₃) -->|(x₁+x₂+x₃)/3||

 2. N2: ℝ³_-->ℝ, (x₁,x₂,x₃)-->(x₁²+x₂²+x₃³)^(1/2)

3. N3: ℝ3-->ℝ, (x₁,x₂,x₃)-->x₁²+x₂²+x₃²

Ich kenne die Definition der Norm. Es muss gelten

1. ||x||>=0

2. ||x||=0 --> x=0

3. ||ax||=|a|*||x||

4. ||v+w||=||v||+||w||

Nur wie wende ich das jetzt auf meine Aufgaben an? Für einen Tipp wäre ich sehr dankbar

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EDIT: Druckfehler bei 1. und 2. ? 

1. N1: ℝ³-->ℝ, (x₁,x₂,x₃) -->|(x₁+x₂+x₃)/3||

meinst du 1. N1: ℝ³-->ℝ, (x₁,x₂,x₃) --> | (x₁+x₂+x₃)/3 |  ?

2. N2: ℝ³_-->ℝ, (x₁,x₂,x₃)-->(x₁²+x₂²+x₃³)^(1/2)

Ist keine Norm auf R^3, da x = (0,0,1) keine Norm in R hat. 

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Oh ja stimmt da habe ich mich bei 1. vertippt

Und wie prüfe ich die einzelnen Schritte hier, ob eine Norm vorliegt?

Answer 1

Bei Nr. 4 heißt es wohl eher ≤  statt = .

Du musst einfach schauen, ob die Eigenschaften zutreffen,

etwa bei N3  ist 1 und 2 sicher erfüllt, aber bei 3 hast du  N3(a(x1,x2,x3))=N3(ax1,ax2,ax3) = a²x1² +a²x2² +a²x3²

=   a^{2 * (}x1² +x2² +x3²  )  = a² *  N3(x1,x2,x3) 

Und da im allgemeinen nicht |a| = a² gilt, ist das keine Norm.Kannst auch sofort mit einem konkreten Gegenbeispiel etwa N3( 2* ( 1,1,1) )argumentieren.

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Ok super ich glaub dann habe ich es verstanden.

Vielen Dank für deine Hilfe

Answer 2

Ich stehe irgendwie auf dem Schlauch,

Die Aufgabe lautet:

Entscheiden Sie, ob die folgenden Abbildungen eine Norm in R^3 sind. Beweisen Sie jeweils Ihre Entscheidung.

 N1 : R^23 → R,  (x₁, x₂, x₃) → I (x₁+x₂+x₃) /3 I

Die Eigenschaft II x II = 0 ⇔ x=0

wäre hier doch nicht erfüllt, weil I (x₁+x₂+x₃) /3 I = 0 für x₁ = -1, x₂ = 1, x₃ = 0 gehen würde, oder wäre die Eigenschaft erfüllt, da ja (x₁, x₂, x₃) = 0 der Nullvektor ist, und daher jede einzelne Komponente gleich null?

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https://de.wikipedia.org/wiki/Norm_(Mathematik)#Definition

Gemäss 

muss nur "==>" gezeigt werden. Und das hast du mit deinem Gegenbeispiel widerlegt.

Somit ist N1 keine Norm.

Übrigens: Das sollte heissen:

 N1 : R³ → R,  (x₁, x₂, x₃) → I (x₁+x₂+x₃) /3 I 

Die Eigenschaft II x II = 0 ⇒ x=0

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EDIT:

Übrigens: Das sollte wohl  heissen:

 N1 : R³ → R,  (x₁, x₂, x₃) → I (x₁+x₂+x₃) /3 I 

Die Eigenschaft II x II = 0 ⇒ x=0 .

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Oh ja stimmt, vielen dank für deine Hilfe, dann hatten wir in der Vorlesung das falsch aufgeschrieben weil da war es ein Äquivalenzpfeil :) Danke sehr!

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Aus 2) und 3) folgt die andere Richtung vermutlich automatisch. Schau mal noch in den Wikilink rein.