Beweisidee, konvergiert fn bei n → ∞ gleichmäßig auf R gegen f : R → R, so… bitte um Kontrolle(neuer Beweis)

Question

Beweisidee, konvergiert fn bei n → ∞ gleichmäßig auf R gegen Grenzfunktion f : R → R, so… bitte um Kontrolle(neuer Beweis)

bitte auch diesen Beweis kontrollieren. Er sollte eigentlich korrekt sein :-) hab mich beim letzten Mal aber auch geirrt...

Ist (fn)n∈N eine Folge von Funktionen fn : R → R, die alle an

einer Stelle a ∈ R stetig sind, und konvergiert fn bei n → ∞ gleichmäßig auf R gegen eine Grenzfunktion f : R → R, so ist f an der Stelle a stetig.

Beweisversuch: Wegen der Stetigkeit der fn an der Stelle a gibt es zu jedem ε > 0 ein δ > 0, so dass fur alle x ∈ ]a−δ, a+δ[ gilt: −ε< fn(−fn(a) <ε/2.

Durch Grenzubergang  n → ∞ ergibt sich für x ∈ ]a−δ, a+δ[ dann auch −ε/2 ≤ f(x)−f(a) ≤ε/2

(wobei berucksichtigt wurde, dass aus den strikten Ungleichungen beim Grenzubergang schwache werden). Insbesondere gilt damit

|f(x)−f(a)| < ε fur alle x ∈ ]a−δ, a+δ[, und wegen der Beliebigkeit von ε > 0 ist f somit an der Stelle a stetig.

Answer 1

Da Du die wesentliche Voraussetzung der gleichmaessigen Konvergenz gar nicht verwendest, kannst Du eigentlich gleich selber draufkommen, dass Dein Beweis nichts taugt.

Einen richtigen Beweis findest Du in jedem Analysis-Lehrbuch. Man geht da aus von $$f(x)-f(a)=f(x)-f_N(x)+f_N(x)-f_N(a)+f_N(a)-f(a).$$ Von diesen drei Differenzen werden wegen der gleichmaessigen Konvergenz die erste und die letzte beliebig klein, wenn man \(N\) gross genug waehlt, und die mittlere, wenn man \(x\) nahe genug bei \(a\) waehlt, weil \(f_N\) stetig in \(a\) ist.

Comments

Nur so als Nachtrag. Die Zeile, in der Du mit \(n\to\infty\) zur Grenze uebergehen willst, lautet korrekt: $$|f_n(x)-f_n(a)|<\epsilon\quad\text{fuer $x\in(a-\delta_n,a+\delta_n)$}.$$ Denn das \(\delta=\delta_n\) ist potenziell für jedes \(f_n\) ein anderes. Angenommen, die Stetigkeit der \(f_n\) an der Stelle \(a\) wird "immer schlechter", d.h. \(\delta_n\to0\), dann erhaelst Du bloss noch $$|f(x)-f(a)|\le\epsilon\quad\text{fuer $x=a$}.$$