komplexe Zahlen von kartesische Form auf die Polarkoordinaten (Argument, Winkel errechnen)

Question

wie im Titel: 
Wie errechnet man den Winkel Phi für die Polarkoordinatenform?

Gegeben ist: z=4-3i

Den Abstand r berechnet man mit dem Satz des Pythagoras das 5 L.E ergibt. 

Die Allgemeinform der komlpexen Zahl z= x +iy 

Es gilt ja die Beziehung :

cosphi = (x/r)  => x= r*cosphi

sinphi=(y/r) => y= r*sinphi 

In die allgemeinform eingesetzt:
(trigonometrische Form)

z= r[ cos(phi)+i*sin(phi)]

Laut meinen informationen kann man folgendermaßen vorgehen: (In "rad") um den Winkel zu bestimmen

phi=cos^-1(x/r) => cos^-1(4/5)= 0,643

phi=sin^-1(y/r) = sin^-1(-3/5) = -0,643

Dadurch erhalte ich 2 Werte die den Winkel phi repräsentieren? Ist das richtig und wie gehe mit diesen Beiden Werten um?

Und wie bestimmte ich noch die Lage des Winkels( Quadrant) abgesehen mithilfe der Tabelle und cos(x/r) und sin(y/r) ?

Wie ist es mit Tangenz ?

Answer 1

Überlege dir als Erstes in welchem Quadranten z=4-3i liegt. (Vorzeichen ansehen)

Da der Realteil positiv und der Imaginärteil von z negativ ist, liegt z im vierten Quadranten. 

cosphi = (x/r)  => x= r*cosphi

sinphi=(y/r) => y= r*sinphi 

tan(phi) = sin(phi) / cos(phi) = (y/r)/(x/r)        | oben und unten mal r ergibt  
tan(phi) = y/x  . 
Also phi = arctan(y/x) + k*π , k Element Z.    (Tangens hat die Periodenlänge π. )   
Dann k so wählen, dass der resultierende Winkel im richtigen Quadranten liegt.

Answer 2

> phi=cos^-1(x/r) => cos^-1(4/5)= 0,643  (falsch)

;  φ =  arccos(x/r) wenn y≥0     [  - arccos(x/r) wenn y<0 ]              [ hier lag dein Fehler!]

z = x + iy = 4 - 3i   →  y = -3 < 0

→   φ  =  -  arccos(4/5)  ≈ - 0,6435

  z = 5 * e^-0,6435·i 

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> Wie ist es mit dem Tangens?     [ mit dem Kosinus merkt es sich etwas einfacher ] 

Wkipedia:

z = a + bi 

Gruß Wolfgang