Lineare Abbildung mit Matrix

Question

ich hätte zu folgender Aufgabe ein paar Fragen.

Gegeben sei die lineare Abbildung φ : R 4 → R 4 mit darstellender Matrix (bezüglich der Standardbasis

im R 4 )

A =

1	2	-3	3
-1	-1	2	-1
3	3	0	4
-3	1	4	4

Bestimmen Sie eine Basis des Kerns und des Bilds der linearen Abbildung.

Die Basis des Kerns bestimme ich doch, wenn ich die Matrix als LGS mit Ax=0 ausrechne oder?

Sprich, ich habe 4 Gleichungen:

1) x₁+2x₂-3x₃+3x₄=0 usw..

Hier eliminiere ich jetzt nach - und nach meine Parameter und setze dann rückwärts ein und bekomme so x1, x2,x3,x4 raus. Jetzt muss ich nurnoch irgendwas der Form ker(φ) = {λ * (x1,x2,x3,x4)^T: λ ∈ ℝ}. Stimmt das so?

Und zum Bild der linearen Abbildung weiß ich nicht, was ich machen muss, wäre sehr dankbar wenn mir jemand weiterhelfen könnte.

Answer 1

wenn deine Matrix wirklich stimmt,
ist es ganz einfach:

Gauss-Algorithmus bringt sie auf Stufenform

und du siehst:  4 Stufen

Also Kern = { 0-Vektor} und die

Spalten der Matrix bilden eine Basis für

das Bild.  Das ist allerdings ganz IR⁴ .

Comments

die matrix stimmt leider nicht, in der ersten Zeile muss statt der -3 eine -1 sein...

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Dann sieht der Fall anders aus:Da bekomme ich rang = 3

und  Basis für den Kern ist  ( 3 ; -11 ; -1  ; 6 ) .

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das habe ich auch raus, ist die Abbildung injektiv oder surjektiv?

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Wenn der Kern  aus mehr als der 0 besteht, ist nie Injektivund nach Dimensionssatz ist

dim Bild φ = 3 also auch nicht surjektiv.