Aufgabe:
Bestimme jeweils \( f(g(x)) \) und \( g(f(x)) \) und berechne beide Ableitungen:
a) \( f(x)=2 x-3 ; \quad g(x)=x^{2} \)
b) \(\displaystyle f(x)=\frac{1}{x} ; \quad \qquad g(x)=5 x+3 \)
c) \(\displaystyle f(x)=3 x-1 ; \quad g(x)=\frac{1}{x^{2}} \)
Problem/Ansatz:
Die erste Ableitung kann ich aber bei der 2. Ableitung kommt mir immer etwas falches raus..
a)
\(f(x)=2x-3\) und \(g(x)=x^2\)
\(f(g(x))=2\cdot (x^2)-3 \)
\(\left(f(g(x))\right)'=2\cdot 2x=4x\)
\(\left(f(g(x))\right)''=4\)
\(\left (g(f(x))\right)=(2x-3)^2\)
\(\left (g(f(x))\right)'=2\cdot (2x-3)\cdot 2=4\cdot (2x-3)\)
\(\left (g(f(x))\right)''=4\cdot (2)=8\)
Mit "beide Ableitungen" sind die ersten Ableitungen der beiden Funktionen gemeint!
Hatte es anders verstanden, aber habe beide Ableitungen ergänzt.
Es sind die Ableitungen \(\left(f(g(x))\right)'\) und \(\left(g(f(x))\right)'\) gemeint.
Außerdem ist es vermutlich eine Übungsaufgabe zur Kettenregel.
Es ist doch \(f(g(x))=2x^2-3 \)
Das abgeleitet ist \(4x\)
Du sollst aber offensichtlich die Kettenregel anwenden und nicht ausmultiplizieren.
Die Schreibweise f'(g(x)) ist falsch.
Nicht nur diese eine...
Nun ist es verbessert.
Bei der Kettenregel verwende ich innere Ableitung mal äußere Ableitung.
(f o g)(x) = 2·(x^2) - 3(f o g)'(x) = (2·x)·(2) = 4·x
(g o f)(x) = (2·x - 3)^2(g o f)'(x) = (2)·(2·(2·x - 3)) = 8·x - 12
Wer ein paar Mal die Kettenregel selbst angewendet hat, merkt, dass es viel geschickter und sicherer (und damit didaktisch sinnvoller) ist in der Variante äußere mal innere zu rechnen.
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