a) Berechnen Sie die gemeinsamen Schnittpunkte der Schar.
Die Aufgabenstellung teilt uns bereits mit, dass gemeinsame Schnittpunkte der gesamten Schar gesucht sind. Das wäre in diesem Falle ohne den Hinweis "gemeinsam" zwar auch nicht anders, macht diesen Umstand aber noch zusätzlich deutlich. Wir suchen also vom Scharparameter unabhängige Schnittpunkte!
Statt \(f_{a_1}(x) = f_{a_2}(x)\) zu betrachten, genügt es daher, die Funktionsgleichung selbst ein wenig umzuformen:
$$ \begin{aligned}f_a(x) &= x^3 -ax^2 +a \quad (a<0) \\ &= x^3 -a\left(x^2 - 1 \right) \\ &= x^3 -a\left(x - 1 \right)\left(x + 1 \right)\end{aligned} $$Nun ist klar, dass wir nur durch \(x=+1\) oder \(x=-1\) den Scharparameter \(a\) ausschalten können. Dies führt zu den beiden gemeinsamen Scharpunkten
$$ (1\,|\,1) \quad \text{und} \quad (-1\,|\,-1).$$
