h:R^{n x n} -> R^{n x n}, h(X):=A^{-1} X A ist ein Isomorphismus?

Question

Sei A E GL(n,R). Zeigen Sie, dass die Abbildung h:R^{n x n} -> R^{n x n}, h(X):=A^{-1} X A ein Isomorphismus ist.

Ich denke ich muss beweisen dass die Abbildung bijektiv ist, aber ich weiss nicht wie.

Danke

Answer 1

Fuer die Bikektivitaet ist zu zeigen, dass die Matrizengleichung $$A^{-1}XA=Y$$ für jedes \(Y\in\mathbb{R}^{n\times n}\) eine eindeutig bestimmte Lösung \(X\in\mathbb{R}^{n\times n}\) hat .

Answer 2

Du musst zeigen, dass es ein bijektiver Homomorphismus ist, also auch

sowas wie h(X+Y) = h(X) + h(Y)

Das ist aber nicht wild; denn A^-1 (X+Y)  A

=  A^-1 (XA +Y A) 

=  A^-1 XA +  A^-1 Y A

=   h(X) + h(Y)  

entsprechend auch Homogenität

Und für Injektiv:

h(X) = h(Y)

A^-1 X A  =  A^-1Y A   von links mit A multiplizieren

X A  =  Y A   von rechts mit A^-1   multiplizieren

X = Y   OK.injektiver Homomorphismus zwischen gleichdim. Räumen ist immer auch surjektiv.

q.e.d.