Produkt zweier Exponenten. 2^x=9 und 3^y=8. x*y =?

Question

Es sei 2^x=9 und 3^y=8. Bestimme das Produkt x·y ohne Verwendung des Logarithmus.

Comments

Die Aufgabe stammt aus einer Hochschulaufnahmeprüfung, die türkische Gymnasiums-Absolventen bestehen müssen, um ein Fach mit Mathematikbezug studieren zu können. 

Dann wird diese Art von Aufgaben hin und wieder vorkommen. Wenn man den Rechenweg ein- zweimal geübt hat, kann man sich an einer Prüfung daran erinnern. 

Answer 1

Ich nehme mal an, dass ich mir den LN aber notieren darf. Ich rechne ihn hier nicht aus.

x = LN(9) / LN(2) = LN(3^2) / LN(2) = 2*LN(3) / LN(2)

y = LN(8) / LN(3) = LN(2^3) / LN(3) = 3*LN(2) / LN(3)

x * y = 2*LN(3) / LN(2) * 3*LN(2) / LN(3) = 2 * 3 = 6

Comments

Das ist die richtige Lösung, aber unter Verwendung des Logarithmus, was ja ausgeschlossen wurde.

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Potenziere mit y und mit 2.

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Inhaltlich richtig aber zu knapp in der Darstellung. Wenn man nicht weiß, was da potenziert werden soll und wie man dann das Ergebnis findet, versteht man die Lösung nicht.

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Danke hj2111 für die Idee

Erste Gleichung

2^x = 9

2^x = 3^2

2^{xy} = 3^{2y}

Zweite Gleichung

3^y = 8

3^y = 2^3

3^{2y} = 2^{2*3}

Erste und zweite Gleichung zusammen

2^{xy} = 3^{2y} = 3^{2y} = 2^{2*3}

2^{xy} = 2^{2*3}

xy = 2*3

xy = 6

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@Roland: Man sollte wissen, dass hj2111 dir nicht das Denken abnehmen will. D.h. man selber kann sich ja nun selber überlegen, wie da was du potenzieren ist um das gewünschte Ergebnis zu erhalten.

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Das hätte ich als "Beste Antwort" bewertet, wenn du es nicht in einem Kommentar versteckt hättest.

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Jeder ist nur in der Lage eine Antwort zu geben. Natürlich hätte ich meine Antwort auch editieren können. Allerdings gebührt mir auch nicht die beste Antwort sondern eigentlich hj2111. Ich habe seine Idee ja nur in die Tat umgesetzt. Dahinter steckt eigentlich keine Kunst.

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Ich werde auch hj2111 nicht mit "Beste Antwort" bewerten, weil auch er sich in einem Kommentar versteckt und ich es hasse, wenn  Antworten nur aus Andeutungen bestehen.

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Ja. Schüler und Studenten hassen es oft, wenn sie gezwungen werden selber ihren Kopf anzustrengen. Nur leider kann nicht jede auf der Welt erdenkliche Frage immer vorgemacht werden. Und wenn man nie lernt selber nachzudenken wird man es auch nie können.

Ich wäre auch eher dafür hier nicht alles vorzurechnen. Leider lässt sich das in einem Forum meiner Meinung schlecht realisieren.

Im 1:1 Unterricht gebe ich den Schülern allerdings auch nur Tipps anstatt es selber vorzurechnen.

Indem man es Vorrechnet verschiebt man die Verantwortung des Lernens auf den Schüler. Meist lernt der Schüler nichts, weil er nur die Rechnung abschreibt und daraus absolut nichts lernt.

Es gibt aber hier im Forum auch ausnahmen. Also Schüler die sich nachher mit der Rechnung auseinandersetzen, sie hinterfragen und daraus lernen.

Allerdings gibt es eben auch viele Schüler hier die nicht gewillt sind nur ein Fünkchen selber das Gehirn anzustrengen. Und so landen gute Tipps wie der von hj21111 in der Tonne. Eben weil das Gehirn nicht aktiviert wird.

Und daran sieht man das es offenbar für ein Forum eben nicht wirklich funktioniert wenn man nur Tipps gibt anstatt es haarklein vorzurechnen.

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ich gebe dir recht, wenn du sagst, dass das eigene Gehirn durchaus noch eingeschaltet werden sollte. Aber ist jede kryptische Andeutung bereits ein Aufforderung, das eigene Gehirn einzuschalten? Ich glaube das gerade du als Lehrer dir sehr genau überlegst, welche Denkanstöße du gibst und welche du als verwirrend einschätzt.

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Was ist verwirrend an der Aussage:

Potenziere mit y und mit 2. 

Das ist doch ein sehr konkreter Tipp. Man hat ja letztendlich nicht unendlich viele Gleichungen zur Auswahl die man potenzieren könnte. Und immerhin weißt man ja auch, dass das Potenzieren letztendlich zum Ziel führen sollte. 

Also auch selbst wenn man sein Gehirn ausgeschaltet lässt, könnte man einfach mal der Aufforderung folgen und beide Gleichungen sowohl einmal mit y als auch einmal mit 2 potenzieren.

Spätestens dann sollte einem wohl ein Licht aufgehen. Und wenn nicht dann könnte man immerhin nochmals bei hj2111 nachfragen wie der Tipp genau gemeint ist. 

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Lieber Mathecoach, da ich davon ausgehe, dass du Mathelehrer bist, schlage ich vor, die gibst meine Aufgabe zusammen mit den Hinweisen "Potenziere mit y und mit 2" an deine Schüler und wertest die Ergebnisse aus. Ich bin gespannt auf das Ergebnis.

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Ich persönlich finde solche Aufgaben eher überflüssig. Wie gesagt konnte ich es auch berechnen ohne den Logarithmus wirklich auszurechnen. Ich hatte ihn lediglich als Schreibweise noch stehen.

Solche Aufgaben kann man Mathestudenten antun. Aber Schüler sind da denke ich eher weniger die richtige Zielgruppe.

Von 20 Schülern würden sicher 1 Musterschüler obige Aufgabe mit dem Tipp lösen können und es dann den anderen verraten wie es funktioniert. Es bringt allerdings die Klasse nicht weiter.

Woher stammt die obige Aufgabe? Aus einem Buch für Schüler?

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Woher stammt die obige Aufgabe? Aus einem Buch für Schüler?

Und :  Wer ist der Fragesteller ?  Ein Schüler ?

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Mathecoach, du schreibst: "Von 20 Schülern würde sicher 1 Musterschüler obige Aufgabe mit dem Tipp lösen können." Das vermute ich auch. Meine Frage lautet: Gibt es einen Hinweis, der nicht nur einem Musterschüer hilft, aber nicht zuviel verrät, sodass das Einschaten des Gehirns erforderlich bleibt?

Die Aufgabe stammt aus einer Hochschulaufnahmeprüfung, die türkische Gymnasiums-Absolventen bestehen müssen, um ein Fach mit Mathematikbezug studieren zu können.

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"Ich persönlich finde solche Aufgaben eher überflüssig. ... Solche Aufgaben kann man Mathestudenten antun. Aber Schüler sind da denke ich eher weniger die richtige Zielgruppe."

Solche Aufgaben stehen öfters in Schulbüchern.

Außerdem werden solche Aufgaben auch in nationalen oder internationalen Mathematikwettbewerben immer wieder verwendet, dort meist für die Klassenstufen 9 bis 10.

Grüße,

M.B.

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Da Stimme ich MB zu, da der Logarithmus zur Lösung der Aufgabe gar nicht benötigt wird, bieten sich solche Aufgaben auch für niedrigere Klassenstufen an, wenn auch eher als Knobelaufgaben, kommt vielleicht nicht jeder gleich darauf ;)

Answer 2

$$ 2^x = 9 = 3^2 $$

$$ 3^y = 8 = 2^3 $$

Damit sofort \( x = 3 \) und \( y = 2 \).

Comments

2³≠3²; x≠3 und y≠2. Hättest du x·y angegeben, wie verlangt, dann wäre das Ergebnis zufällig richtig gewesen.

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"Jetzt begriffen?"

Wie soll man eine falsche Lösung begreifen?

x≠3 und y≠2

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Soweit war ich auch schon.

2^x * e^y = 2^3 * 3^2

Die Zeile legt nahe x = 3 und y = 2

Dies vereinbart sich aber nicht mit der Eingangsaussage

Es sei 2^x=9

Was Primfaktoren und Potenzgesetze hier sollen
weiß ich nicht.

Eine Berechnung mit ln ergibt
x = 3.17
y = 1.89
Ich hoffe doch dies ist die korrekte Lösung.

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@ georgborn

es heißt \( 3^y \), nicht \( e^y \)

Aber Du hast einen wichtigen Einwand zu recht, was ich leider übersehen habe, also \( x = 3 \) und \( y = 2 \) sind falsch, man kann nur \( xy = 6 \) sagen.

Vergesst also das meiste oben.

Answer 3

Hallo Roland,

inspiriert durch die Antwort des mathegenies
kann man argumentieren

2^x = 9 = 3^2
3^x = 8 = 2^3

2^x * 3^y = 3^2 * 2^3 oder 2^3 * 3^2
2^x * 3^y = 2^3 * 3^2

demzufolge ist
x = 3 und y = 2

mfg Georg

Comments

Das ist ganz schöner Quatsch.

Wieso machst du dir die Mühe und schreibst eine fehlerhafte Antwort ab??

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Tut mir leid Georg, aber mit deiner Lösung "x = 3 und y = 2" bin ich nicht einverstanden.

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Hallo Roland,

gut meinen Beitrag nehme ich zurück.
Er widerspricht der u.a. der Ausgangsaussage

Es sei 2^x=9

dann kann x nicht = 3 sein.