a)
Den Scheitelpunkt der Parabel kann man in der Skizze mit (2 | -0.5) ablesen. Dieser ist auch in der Scheitelpunktform gegeben. Desweiteren kann man in der Skizze den Öffnungsfaktor von 0.5 ablesen. Wenn man vom Scheitelpunkt eine Einheit nach rechts oder links geht muss man 0.5 Einheiten nach oben gehen. Auch der Öffnungsfaktor ist in der Scheitelpunktform korrekt angegeben. Auch eine Wertetabelle und ein vergleich mit dem Graphen könnte die Richtigkeit der Gleichung beschreiben.
b)
f(1) = -1^3 + 4·1^2 - 3·1 = 0
g(1) = 0.5·(1 - 2)^2 - 0.5 = 0
c)
f(x) = -x^3 + 4·x^2 - 3·x = -x·(x^2 - 4·x + 3) = 0
x = 0
x^2 - 4·x + 3 = 0 --> x = 1 ∨ x = 3
P1(0|0) ; P2(1|0) ; P3(3|0)
d)
g(x) = 0.5·(x - 2)^2 - 0.5 = 0.5·(x^2 - 4·x + 4) - 0.5 = 0.5·x^2 - 2·x + 1.5
d(x) = f(x) - g(x) = (-x^3 + 4·x^2 - 3·x) - (0.5·x^2 - 2·x + 1.5) = -x^3 + 3.5·x^2 - x - 1.5
D(x) = -1/4·x^4 + 7/6·x^3 - 1/2·x^2 - 3/2·x
∫ (1 bis 3) d(x) dx = D(3) - D(1) = 9/4 - (-13/12) = 10/3 = 3.333 km² = 333.3 ha
e)
f(x) = -x^3 + 4·x^2 - 3·x
f'(x) = -3·x^2 + 8·x - 3 = 0 --> x = 2.215
f(2.215) = 2.113
s = √((2.215 - 2)^2 + (2.113 + 0.5)^2) = 2.622 km = 2622 m
