Es sei φ die Spiegelung bezüglich g. Berechnen Sie die Matrix A, die φ in der Standardbasis darstellt.

Question

Brauche Hilfe bei der folgenden Aufgabe:

Es sei g die Gerade im Raum ℝ³, die den Ursprung und den Punkt (1, 0,-3) enthält. Es sei E die Ebene,
die orthogonal zu g ist und den Ursprung enthält.
a) Geben Sie die Parameterdarstellung von g und die Parameterdarstellung und die Hesse-
Normalform von E an.
b) Es sei φ die Spiegelung bezüglich g. Berechnen Sie die Matrix A, die φ in der Standardbasis darstellt.Bitte auch mit Erklärung. Danke ;)

Answer 1

Es sei g die Gerade im Raum ℝ³, die den Ursprung und den Punkt (1, 0,-3) enthält. Es sei E die Ebene,
die orthogonal zu g ist und den Ursprung enthält.
a) Geben Sie die Parameterdarstellung von g

x = ( 0;0;0) + t*( (1; 0 ; -3) 

Normalen form von E :

ein Normalenvektor ist   (1, 0,-3) 

also  E :   x +0y  -3z =  d   und da Ursprung in E, ist d = 0 

E :   x +0y  -3z =  0 

oder vektoriell     (1, 0,-3)   *  x   =   0  

Hesse ( Normalenvektor normieren )

                  1/√10   *   (1, 0,-3)   *  x   =   0

b) Es sei φ die Spiegelung bezüglich g. Berechnen Sie die Matrix A, die φ in der Standardbasis darstellt. 

In den Spalten der Matrix stehen die Bilder der Basisvektoren.

Also spiegele zuerst   E1  ( 1 ; 0 ;0 )  an g  .

Suche Lotfußpunkt L   von  E1  auf g  

Dazu muss der Vektor von E1 zu X auf g senkrecht zu g sein:

E1X  =   ( 0;0;0) + t*( (1; 0 ; -3)  -  ( 1 ; 0 ;0 )   =  ( -1+t  ;  0  ;  -3t  )   

( -1+t  ;  0  ;  -3t  )    *  (  (1, 0,-3)  = 0   gibt

            t = 0,1

Also ist der Lotfußpunkt  L (  0,1  ;   0   ;  -0,3 )  

Und der Spiegelpunkt E1 '  zu E1 ist dann   E1 + 2* E1L   = ( -0,8 ; 0 ; -0,6 ) 

Und damit hast du die erste Spalte der gesuchten Matrix

-0,8         ?         ?
   0          ?         ?
-0,6         ?          ?

Und die anderen Spalten sind eben die Bilder von E2(0;1;0) und

E3 ( 0 ; 0 ; 1 ) .

Comments

abend mathef,wiie du auf die Parameterdarstellung von g:  g = ( 0;0;0) + t*( (1; 0 ; -3)  gekommen bist, sehe ich.Aber es fehlt doch noch die Parameterdarstellung  von E.
Um die Parameterdarstellung  von E darzustellen, bin ich es gewohnt drei Punkte zu haben. hier hat man ja nur einen. (0, 0, 0); also der Ursprung. Kannst du erklären wie ich die anderen zwie Punkte bekomme bzw. wie man zur Parameterdarstellung  kommt?

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einfach 2 Punkte suchen , die bei 

x +0y  -3z =  0  


eine wahre Aussage machen, also etwa

P2 ( 3 ; 0 ; 1 ) und P2 ( 0 ; 1 ; 0 ) 

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verstehe...Sind das denn schon die Richtungsvektoren oder muss ich P₂(3, 0, 1) - P₁(0, 0, 0) und P₃ ( 3 ; 0 ; 1 ) - P₁(0, 0, 0) rechnen, um die Richtungsvektoren zu kriegen?

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Du kannst auch xxxx   - P₁(0, 0, 0)   rechnen, aber das

ändert das Ergebnis nicht :-)