Extremwertaufgabe - Bauernhof eines Landwirts, geradliniger Weg Hof. Wie Abstände des Dreiecks wählen?

Question

Hier Die Aufgabenstellung: (Aus dem Buch) 

Das Gehöft eines Bauerns liegt in der Nähe einer Ecke des rechtwinklig begrenzten Grundstückes. Es soll ein geradliniger Weg am Hause vorbeigeführt werden. Das abgetrennte Dreieck PQR soll dabei einen möglichst kleinen Flächeninhalt haben. Bekannt sind die Abstände a, b der Ecke E von den Grenzen des Grundstücks 

a = 60m, b = 80m


Die Lösung der Aufgabe 

Damit das abgeschnittene Dreieck minimalen Inhalt hat, muss PR = 120m und QR = 160m gewählt werden. 

A_min = 1/2*120m*160m = 9600 m²

Meine Gedanken: (Ich komme nicht weiter)

Ich habe keinen Ansatz gefunden weil ich die Aufgabe nicht richtig verstehen, ich erkenne einfach dass die Ecke des Bauernhofes evntuell einen Punkt E darstellt. Womöglich hat der Punkt E den X-Wert b, und den Y-Wert a. Also:

E ( b I a ) 

Dieser Punkt liegt auf der strecke PQ. Gleichzeitig ist PQ die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks RPQ.

Laut Aufgabenstellung sollen jetzt die Abstände vom Zentrum R ( 0 I 0 ) zum Punkt P (Koordinaten unbekannt) und der Abstand vom Zentrum R ( 0 I 0 ) zum Punkt Q so gewählt werden, damit ein geradliniger Weg am Bauernhof bzw. am Punkt E ( b I a ) entsteht, dabei soll der Flächeninhalt des Dreieckes minimal werden.

Was fehlt ? 
Mich nimmt es vor Allem wunder, wieso ich nicht auf die richtige Lönsungsvariante komme, mir ist natürlich klar wie man zu einer Zielfunktion kommt und ableitet und daraus dann das x herausfindet. Überprüt. etc. 

Aber was fehlt mir hier, wahrscheinlich werde ich dann eventuell Videos und einfachere Aufgaben brauchen und wäre froh wenn mir diesbezüglich jemand dann auch einen Tipp geben kann. 

Comments

Also ich denke, dass ich die Hypotenuse PQ parallel in Richtung Ursprung bzw. weg vom Punkt E so verschieben muss, damit ich ein neues Dreieck, dessen Fläche minimal ist, erhalte. Oder? 

Jetzt habe ich ja ein Dreieck PQR und ich soll ein Neues Dreieck erhalten das P'Q'R heisst.

Also 

Gegeben: PQR
Gesucht: P'Q'R (Fläche Minimal) 

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Ist das Dreieck RP'Q' mit der neuen Hypotenuse P'Q' gesucht ? Und ist das gelbmarkierte Feld der sogenannte geradlinige Weg ? 

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Nein - ich denke nicht. Da in der Aufgabe keine Aussage zur Breite des Weges angegeben ist, kannst Du die Breite mit 0 annehmen. Sie spielt also keine Rolle.

Answer 1

der Buchstabe \(a\) in der Zeichnung bezieht sich auf das Stück gestrichelter Strecke vom Punkt \(E\) zur senkrechten Achse - also der Strecke \(RQ\). Demnach ist \(a\) die X-Koordinate des Punktes \(E\), da \(a\) die horizontale Position des Punktes \(E\) beschreibt. \(b\) ist die Y-Koordinate.

ich nenne den Abstand von \(R\) zu \(P\) mal \(x\) und den Abstand von \(R\) zu \(Q\) \(y\). Es ergibt sich folgendes Bild:

Die Dreiecke \(Q'EQ\) und \(P'PE\) sind ähnlich, es sind also alle Verhältnisse identisch. Demnach kann man schreiben:

$$\frac{Q'Q}{a}=\frac{b}{P'P}$$

bzw. da \(x=a+P'P\) und \(y=b+Q'Q\) gilt

$$\frac{y-b}{a}=\frac{b}{x-a} \quad \Rightarrow y=\frac{ab}{x-a}+b$$

Die Fläche \(PQR\) bzw. \(F=\frac{1}{2}xy\) soll minimiert werden. Demnach ist

$$F=\frac{1}{2}xy=\frac{1}{2}x\left( \frac{ab}{x-a}+b \right)=\frac{bx^2}{2(x-a)}$$

Kommst Du allein weiter - sonst frage einfach noch mal nach ... das Ergebnis ist \(x=2a=RP=120\text{m}\)

Comments

1. Frage,
wie hast du erkannt, dass es sich um Ähnliche dreiecke handlet? 

2. Frage,
wie kann ich au der Aufgabe herauslesen, dass ich keinen Abstand brauche 

Es geht also darum, um Verhältnisse in einem Dreieck zu erkennen, wie du eben mit y-b/a = b/P'P ausgedrückt hast. 

Dort habe ich schwierigkeiten. 

Als Fläche hast du die Formel genommen, die für eine Fläche eines Dreiecks bestimmt ist. 

A_Dreieck(x;y) = 1/2*x*y

dann hast du y gemäss Dreiecksverhältnisse nach x aufgelöst und dann y in die A_Dreieck eingesetzt.

A_Dreieck(x) = 1/2*x*((ab)/(x-a) + b) 

a = 60m, b=80m

A_Dreieck(x) = 1/2x*((60*80)/(x-60) + b) I 1/2x per Distributivgesetz in die Klammer multiplizieren

A_Dreieck(x) = (2400x)/(x-60) + 40x I Für addition Bruch erweitern mit (x-60)

A_Dreieck(x) = (2400x)/(x-60) + 40x(x-60) I Von hier aus dann nicht mehr, ich muss es verscuhen auf Papier zu lösen. 

Vielen Dank, mach ich gleich und werde mich dann wieder melden. 

Aber auf jedenfall siehst du dasses zwischen dem Eckpunkt keinen "Abstand" braucht so wie ich es anfangs verscuht habe? Welche Art aufgaben sind das, damit ich etwas einfachere dieser Art lösen kann. Und welche Mathematischen Kentnisse fehlen mir, damit ich die Verhältnisse in einem Dreieck und deren Ähnlichkeit kenne? 

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Hab jetzt anhand deiner Zeichnung die Ähnlichkeit bzw. das Verhältnis nachgezeichnet. 
Ohne zuwissen, wieso es das gleiche ist. 

Aber komme dann mit der Zielfunktion nicht weiter. 

Hauptbedinugung ist ja 

A(x;y) = 1/2*x*y soll Minimal sein. 

Durch das Verhältnis y-b/a = b/x-a soll ich entweder y oder x eliminieren aber komme gemäss Zeichnung nicht weiter. 

Was mache ich da Falsch ? Ich habe ein problem dass ich zu viele Buchstaben bekomme und mit dem nicht weiterrechnen kann. 

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Du fragst. "wie hast du erkannt, dass es sich um Ähnliche Dreiecke handelt?" Nun - ich sehe das - aber die Frage ist doch: "wie siehst Du das?"

Zeichne dazu die Winkel in den Dreiecken ein:

Die beiden schwarzen horizontalen Geraden sind per Definition parallel, weil ich die obere der beiden parallel zur unteren (der X-Achse) eingezeichnet habe. Die Winkel bei den Punkten \(P\) und \(E\) (die roten) sind sogenannte Stufenwinkel. Und Stufenwinkel an Parallelen sind gleich. Das gleiche gilt für die orangen Winkel mit den blauen senkrecht verlaufenden Parallelen. Und die rechten Winkel (in blau) sind auch gleich. D.h. wir haben hier zwei Dreiecke, deren drei Winkel alle gleich sind - folglich sind sie ähnlich.

Du fragtest: "wie kann ich aus der Aufgabe herauslesen, dass ich keinen Abstand brauche"

weil nirgends weder ein 'Abstand' selbst noch ein Hinweis darauf erwähnt wurde.

Du schreibst: "Es geht also darum, um Verhältnisse in einem Dreieck zu erkennen, wie du eben mit y-b/a = b/P'P ausgedrückt hast.  Dort habe ich Schwierigkeiten. "

Du könntest statt dessen auch den (2.)Strahlensatz bemühen. Betrachte dazu die blauen Parallelen, die von den Geraden durch \(PQ\) (grün) und \(PR\) (schwarz) geschnitten werden. Es ist

$$\frac{y}{b}=\frac{x}{x-a} \quad \Rightarrow y=\frac{bx}{x-a}$$

.. ich habe die erste Gleichung dazu mit \(b\) multipliziert.

Du kamst bis: "A_Dreieck(x) = (2400x)/(x-60) + 40x I Für addition Bruch erweitern mit (x-60)
A_Dreieck(x) = (2400x)/(x-60) + 40x(x-60) "

beim zweiten Term fehlt noch "/(x-60)" also

$$A_{\text{Dreieck}}= \frac{2400x}{x-60} + \frac{40x(x-60)}{x-60}= \frac{2400x}{x-60} + \frac{40x(x-60)}{x-60}\\=\frac{2400x}{x-60} + \frac{40x^2-2400x}{x-60}=\frac{2400x +40x^2-2400x}{x-60}\\=\frac{40x^2}{x-60}$$

Du fragtest auch noch: " Und welche Mathematischen Kenntnisse fehlen mir, damit ich die Verhältnisse in einem Dreieck und deren Ähnlichkeit kenne?" Übung - Mathematik lernt man nicht durch Zuhören oder Zusehen. Mathematik musst Du tun, um es zu lernen.

Gruß Werner

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Du schriebst: "Was mache ich da Falsch ? Ich habe ein Problem dass ich zu viele Buchstaben bekomme und mit dem nicht weiter rechnen kann. "

Ausgehend von

$$\frac{y-b}{a}=\frac{b}{x-a}$$

Habe ich mich entschieden, \(y\) zu isolieren. Also alles, was nicht \(y\) ist, soll auf die rechte Seite. Daher habe die Gleichung zuerst mit \(a\) multipliziert:

$$y-b=\frac{ab}{x-a}$$

und dann steht da links nur noch ein \(-b\), was stört. Demnach die Gleichung \(+b\) ergibt

$$y=\frac{ab}{x-a}+b$$

den linke Ausdruck noch auf den Hauptnenner  \((x-a)\) bringen

$$y=\frac{ab}{x-a}+\frac{b(x-a)}{x-a}$$

Ausklammern und zusammen fassen

$$y=\frac{ab}{x-a}+\frac{bx-ab}{x-a}= \frac{ab + bx -ab}{x-a}=\frac{bx}{x-a}$$

Gruß Werner

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Könnte ich in dieser Aufgabe auch mit dem 2. Strahlensatz arbeiten das Zentrum wäre Q

und die Prallelen wären RP und Q'E

$$\frac { a+x }{ a } =\frac { y+b }{ b } \\ (a+x)*b=(y+b)*a\\ ab+bx=ay+ab\\ bx=ay\quad \\ x=\frac { ay }{ b } $$

Oder nach y aufgelöst

$$\frac { a+x }{ a } =\frac { y+b }{ b } \\ (a+x)b\quad =\quad (y+b)a\\ ab+xb\quad =\quad ay+ab\\ xb\quad =\quad ay\\ y\quad =\quad \frac { bx }{ a } \\ \\ $$

Hier sehe ich dass sich mein Y von deinem unterscheidet.

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Du hast gefragt: "Könnte ich in dieser Aufgabe auch mit dem 2. Strahlensatz arbeiten das Zentrum wäre Q" - ja sicher geht das. Nur Dein Ansatz ist falsch.

Zunächst solltest Du definieren, was Du unter \(x\) und \(y\) verstehst. Ich unterstelle mal, Du meinst die Stücke \(P'P=x\) und \(Q'Q=y\), so wie Georg es auch gemacht hat - bei Georg ist \(y=c\). Dann gilt nach dem 2.Strahlensatz:

$$\frac{a+x}{a}=\frac{y+b}{y}$$

D.h. der Nenner auf der rechten Seite ist \(y\) und nicht \(b\). Da \(y\) jetzt im Zähler und Nenner auftaucht, beseitige ich zunächst die Brüche durch Multiplikation der Gleichung mit dem Hauptnenner \(ay\) und multipliziere gleich aus:

$$(a+x)y=(y+b)a \quad \Rightarrow ay +xy = ya + ab$$

das \(ay=ya\) kann man auf beiden Seiten abziehen und nach Division durch \(x\) erhält man

$$y=\frac{ab}{x}$$

das ist natürlich ein anderes \(y\) als meines oben, da \(y\) hier anders definiert ist. Aber das \(y\)  ist identisch mit dem \(c\) aus Georgs Antwort (s.u.).

Gruß Werner

Answer 2

Hier meine Überlegungen / Berechnungen

In der ersten grün umrandeten Formel für die
Fläche kommt als Variable nur noch x vor.
Umformen und ableiten.
x = a

mfg Georg

Comments

Vielen Dank ! Ich versuche auch das danach nachzurechnen. :)

Ich sehe du hast aber auch unbenannte Seiten in diesem Dreieck auch benannt, zb mit "c" und "x" und danach Verhältnisse aufgestellt. 

Das Verhätnis hat du nach c aufgelöst. Und vor der grünumrandeten Formel schnalle ich die Formel nicht. Bzw. was du dort genau gemacht hast ?

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F ( Gesamtdreieck ) =
oberes Dreieck ( a * c ) / 2
+ unteres Dreieck ( b * x ) / 2
+ Rechteck ( a * b )

und dann c ersetzt durch  ( a * b ) / x
ergibt die grün umrandete Formel.

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Hier noch eine andere Berechnungvariante

Betrachtung im 1.Quadranten
Das grüne ist der Weg und wird mit einer
Geradengleichung beschrieben wobei
c der Achsenabschnitt ist.
Ist das Rechteck minimal ist ist auch
das Dreieck minimal.

Als Ergebnis ergibt sich für die Steigung des Weges
m = a / b
Daraus ergibt sich
x = 2 * a ( in dieser Skizze )
RP = 2 * a

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Vielen, vielen Dank georgborn !

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Das ist eine sehr interessante Lösungsvariante, ich muss diese mal genauer anschauen.

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wieso machst du f(0) ? dann bleibt ja nur das c übrig, das wir bereits schon hatten ? Ab eben dort verstehe ich es nicht mehr so gut.

Du machst dann F(c;x) = c*x (soll minimal sein) 

c = b-m*a

F(x) = (b-m*a) * x
F'(x) = b-m*a

F'(x) = 0

b-m*a = 0  I -b
-m*a = -b   I :a
-m = -b/a   I *(-1)
m = b/a

Wo setze ich nun das erhaltene m ein ?


Grüsse, 
Limonade

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Nach meinen Berechnungen komme ich auf Folgendes:

$$f(x)=m*x+(b-m*a)\\ \\ f(x)=\frac { 8 }{ 6 } x+(b-\frac { b }{ a } *a)\\ \\ f(x)=\frac { 8 }{ 6 } x\quad $$

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wieso machst du f(0) ? dann bleibt ja nur das c übrig,
das wir bereits schon hatten ? Ab eben dort verstehe
ich es nicht mehr so gut.

Das Rechteck ist F = c * x.
Dadurch das ich c ersetze erhalte ich
F ( x ) = (b-m*a) * x
Unbekannte sind nun b und x
x entfällt bei der 1.Ableitung
Es bleibt für den Extremwert ( Minimum )
m = b / a

Wo setze ich nun das erhaltene m ein ?

 

Answer 3

E hat die Koordinaten (a | b)

Eine Gerade die durch E geht sieht in der Punkt-Steigungsform wie folgt aus.

g(x) = m * (x - a) + b

Y-Achsenabschnitt g(0)

g(0) = m * (0 - a) + b = b - a * m

Nullstelle g(x) = 0

m * (x - a) + b = 0 --> x = a - b/m

Fläche vom Dreieck

A(m) = 1/2 * (b - a * m) * (a - b/m) = - a^2·m/2 + a·b - b^2/(2·m)

A'(m) = b^2/(2·m^2) - a^2/2 = 0 --> m = - b/a

Damit ist der y-Achsenabschnitt

b - a * (- b/a) = 2·b

Und die Nullstelle

a - b/(- b/a) = 2·a