Grenzwert einer Folge Limes a_{n} = x^{n²} / (n^{2n})

Question

Ich soll den Limes gegen unendlich berechnen. Als Hinweis habe ich bekommen das ich alles als eine e Funktion schreiben soll.

$${ a }_{ n }=\frac { { x }^{ { n }^{ 2 } } }{ { n }^{ 2n } } $$

x > 0

Answer 1

Annahme:  Es existiert der Grenzwert g.  Hemdsärmlig:
$$g\quad =\quad lim\quad \frac { { 2 }^{ { n }^{ 2 } } }{ { n }^{ 2n } }$$
$${ n }^{ 2n }\quad *\quad g\quad =\quad { 2 }^{ { n }^{ 2 } }$$
$$2=\sqrt [ { n }^{ 2 } ]{ g } *\quad { n }^{ \frac { 2 }{ n }  }\quad \quad \quad |\quad lim$$
2 = 1 * 1    ->   Widerspruch
->   Die Folge divergiert.

Comments

Ich habe für x = 2 angemommen.  Streiche „2“, setze „x“.  Für x <= 1 konvergiert die Folge.  Für x > 1 divergiert die Folge.