Schnitt Kugel , Ebene beweisen

Question

Hallo , wenn man wie in der Angabe :

beweisen möchte dass der Schnitt einer Kugel und einer Ebene entweder leer , ein Punkt oder eine Kreisfläche ist , wie würde man das angehen ? gibt es eine rechnerische möglichkeit? oder ist das eher abstrakter?

Danke !

Comments

Ueberlegen Sie sich eine sinnvolle Definition für eine Kreislinie im ℝ³.

Das steht da nicht zum Spass. Damit sollst Du anfangen.

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In einer beliebigen Ebene in R^3 ergibt sich die Kreislinie k mit Mittelpunkt M durch

k=(x∈E | |Vektor(Mx)|=r ) , die Länge der Strecke eines Punktes eines Kreises zu dessen Mittelpunkt soll gleich r sein , somit ergibt sich eine Kreislinie .

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Das koenntest Du noch ein bisschen ausarbeiten. Wenn Du rechnen willst, haettest Du ja gerne eine Darstellung der Form \(x=\ldots\), die Du dann sowohl in die Ebenen- als auch die Kreisgleichung einsetzen willst.

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Okay !

wenn x in der Ebene E liegt dann liegt es in dessen linearen Hülle , also x=λ1*v1+λ2*v2 wobei vi die Richtungsvektoren und λi die Parameter der Ebene E.

ansonsten gilt r^2=(x1-m1)^2+(x2-m2)^2  für den Kreis .

war das so gemeint?

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So aenlich. Ich wuerde als Definition einer Kreislinie in 3D folgendes angeben: $$x=x_0+\rho\cos\phi\,p+\rho\sin\phi\,q\quad\text{mit $\phi\in[0,2\pi]$}.$$ Dabei sind \(p\) und \(q\) aufeinander senkrecht stehende Einheitsvektoren. \(\rho\) ist der Radius der Kreislinie. Sie liegt in der durch \(p\) und \(q\) aufgespannten Ebene durch \(x_0\).

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Ist x0 ein beliebiger Punkt der Ebene oder hat dieser Punkt eine Andere Bedeutung  zb der Mittelpunkt des Kreises ?

nun setze ich dieses x  dann sowohl in die Ebenen- als auch die Kreisgleichung ein , so wie du es angedeutet hast .

Geht das aber nicht einfacher auch? Weil ich weiß, dass p und q die ebene Aufspannen sind sie die richtungsvektoren der Ebene , und jedes x aus der Ebene lässt sich als Summe : x=λ1*v1+λ2*v2 schreiben . wobei v1=p und v2=q dh die Kreisgleichung ist auf jeden Fall in der Ebene enthalten weil sie eine Linearkombination der Richtungsvektoren ist ?

Eine Blöde Frage : ISt eine Kugelfäche etwas anderes wie eine Kugel ( Volumen) ? Weil es steht ||x-m||=r

Die norm interpretiere ich so : √(x-m) =||.|| dh dann √(x-m)=r

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Die Definition ist voellig allgemein und ohne Bezug zur Aufgabe -- ausser dass da explizit nach einer Definition gefragt ist. Natuerlich wird \(x_0\) der Mittelpunkt des Kreises sein.

Bei Deinen anderen Fragen musst Du eben mal die Begriffe nachschlagen. Auch eine kleine Skizze ist sicher hilfreich. Wenn Du keine zusammenbringst, kannst Du wenigstens eine googlen. Da ist z.B. eine:

Answer 1

Um es kurz zu machen: Mein Tipp ist jedenfalls, zuerst eine Translation \(\overline{x}=x-m\) zu machen. Dann lautet die Kugelgleichung $$|\overline{x}|=r$$ und die Ebenengleichung $$\langle\overline{x},n\rangle=b-\langle m,n\rangle.$$ Dann schreiben wir motiviert durch unsere selbstgegebene Definition (siehe Kommentare) $$\overline{x}=\xi\cdot n_0+\rho\cos\phi\cdot p+\rho\sin\phi\cdot q$$ mit \(n_0=n/|n|\), wobei \(p\) und \(q\) das \(n_0\) zu einer Orthonormalbasis ergaenzen. (Zylinderkoordinaten.)

Muss man dann bloss noch einsetzen und ausrechnen.

Comments

Wenn ich x¯ in die Ebenen- sowie in die Kugelgleichung einsetze dann hat man :

r=|ξ*no+ρ*cosΦ*p+ρ*sinΦ*q|

<x¯,n>=b-<m,n>

<ξ*no+ρ*cosΦ*p+ρ*sinΦ*q,n>=b-<m,n>

<ξ*no,n>+<ρ*cosΦ*p,n>+<ρ*sinΦ*q,n>=b-<m,n>

 du hast gesagt p,q und n0 bilden dann eine orthornormalbasis , dh p,q,no stehen normal aufeinander und dh dann auch mit n denn n ist ein VF von n0 .

dh dann:

<ξ*no,n>+<ρ*cosΦ*p,n>+<ρ*sinΦ*q,n>=<ξ*no,n>=b-<m,n>

stimmt das?

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Stimmen tuts schon. Bisschen mehr ausrechnen und umstellen waere aber angebracht. Es soll eine Formel für \(\xi\) und eine für \(\rho\) rauskommen. Jeweils unabhaengig von \(p,\,q\) und \(\phi\).

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okay . ich habe dann mal hier weitergemacht :

<ξ*no,n>=b-<m,n>

ξ*no*n=ξ*|n|=b-<m,n>

⇒ξ =(b-<m,n>)/|n|

aus deiner Grafik habe ich wegen Pythagoras entnommen das gilt

r^2=rs^2+ Abstand(M,MS)^2 bei uns soll das dann heißen r^2= ρ^2+ξ^2.

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Ja, aber das sollst Du aus \(\langle\overline{x},\overline{x}\rangle=r^2\) errechnen, nicht aus Graphiken entnehmen.

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okay , wenn p,q,no eine orthornormalbasis bilden dann sind alle produkte wo 2 unterschiedliche vorkommen =0 weil sie normal aufeinander stehen.
und es gilt das p und q auch die länge 1 haben.
dh <x¯,x¯>= ξ^2|n0|^2+ρ^2(sin^2(Φ)*|q|^2+cos^2(Φ)*|p|^2)= ξ^2+ρ^2*1=ξ^2+ρ^2.

wie bist du hier auf die Zylinderkoordinaen gekommen?weil beim Kreis die x richtung cos und y richting sin ist und auf diese ebene normal die z richtung dann der Abstand ξ ? bzw. woher kommen die normierungen für die orthronormalbasis bei p und q , für n0 habe ich es schon gesehen.

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p und q sind von vorneherein als normiert angenommen. n ist in der Aufgabe ohne Normierungsgarantie schon vorgegeben.

Fuer Kreislinien in 3D gibt es keine gescheite algebraische Formel. Drum kann beim Versuch, das Gleichungssystem

\(x^2+y^2+z^2=r^2\)

\(n_1x+n_2y+n_3z=b\)

irgendwie direkt zu loesen, auch nichts Brauchbares bei rauskommen. Vor allem eben nichts, worin man Kreislinien erkennen koennte. Drum steht in der Aufgabe drin, dass man zuerst mal eine sinnvolle Definition von Kreislinie in 3D finden soll, damit man was hat, womit man weitermachen kann. Dazu hab ich Dir einen Vorschlag gemacht. Zylinderkoordinaten in der angegebenen Form sind dann naheliegend. Man weiss ja schliesslich, was rauszukommen hat.

Uberhaupt: Wenn Du so fragst, ist die Aufgabe noch nicht fertig. Begruende, warum der Schnitt Sphaere/Ebene eine Kreislinie ist, wenn er nicht leer ist.

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zu dem hier :

Uberhaupt: Wenn Du so fragst, ist die Aufgabe noch nicht fertig. Begruende, warum der Schnitt Sphaere/Ebene eine Kreislinie ist, wenn er nicht leer ist.

Sofern r>0 ist und der Abstand eines beliebigen Punktes der Kreislinie welcher auf der Ebene ist  zum Mittelpunkt X0,  gleich r ist dann ergibt das eine Kreisfläche.

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Schade, aber hey! was solls?

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Wie hättest du das interpretiert ?

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Wenn man sich schon selber eine Definition von Kreilinie in 3D ueberlegen soll, um ueberhaupt rechnen zu koennen, dann muesste klar sein, dass man die dann auch als Kriterium verwendet und nicht irgendwelches Larifari.