Berührpunkt einer kugel

Question

Zeige, dass die Kugel

K: (x1 - 4)*2 + (x2 +1)*2 + (x3 - 2)*2 = 16

die x2x3-Ebene berührt und gib die Koordinaten des Berührpunkts B an.

Ich komme mit dieser Aufgabe überhaupt nicht zurecht, und brauche Hilfe.

Ein ausführlicher Lösungsweg wäre wirklich super !!

Answer 1

(x - 4)^2 + (y + 1)^2 + (z - 2)^2 = 4^2

Mittelpunkt der Kugel ist M = [4 ; -1; 2]

Damit ist der Abstand zur y-z-Ebene genau 4. Da das auch der Radius der Kugel ist berührt die Kugel die y-z-Ebene. Der Berührpunkt ist B(0 | -1 | 2).

Answer 2

K: (x1 - 4)*2 + (x2 +1)*2 + (x3 - 2)*2 = 16

kann nicht sein, muss "hoch 2 " heißen

K: (x1 - 4)² + (x2 +1)² + (x3 - 2)² = 16

Dann ist der Mittelpunkt M ( 4 / -1 / 2 ) und Radius r=4

Und weil x1=4 und r=4 wird die x2x3-Ebene berührt
und für den Berührpunkt musst du M parallel zur

x1-Achse um 4 Einheiten nach hinten schieben und

hast den Berührpunkt B ( 0 / -1  /  2 ) .

Answer 3

ich nenne

x1=x

x2=y

x3=z

Wenn du gar keine Idee hast bzw. dir es auch nicht graphisch vorstellen kannst, dann überlege dir welche Gleichungen ein möglicher Schnittpunkt/Berührpunkt erfüllen muss.

Die Kugelgleichung lautet

(x-4)^2+(y+1)^2+(z-3)^2=16

Die Gleichung der y-z-Ebene lautet:

x=0

Wir lösen also das Gleichungssystem.

(x-4)^2+(y+1)^2+(z-2)^2=16

x=0

Die zweite Gleichung kann direkt in die erste eingesetzt werden.

16+(y+1)^2+(z-2)^2=16

(y+1)^2+(z-2)^2=0

Nun sind aber die Terme (y+1)^2 und (z-2)^2

stets größer gleich Null. Sie ergeben genau dann 0 in der Summe, wenn beide Summanden gleich 0 sind.

Also:

y+1=0 ---> y=-1

z-2=0 z---> z=2

und x=0 vom Anfang.

Es gibt genau eine Lösung.