Zeige, dass es keinen Vektor mit x^T * Ax = -1 gibt.

Question

hallo allerseits,

ich habe folgende Matrix A gegeben:

Ich soll nun zeigen , dass es keinen Vektor mit x^T * Ax = -1 gibt?

Wie geht man hier man besten vor? Meine Idee wäre, dass man einen lgs aufstellt, diese in die ZSF bringt und schaut, ob es keine Lösung  gibt, also IL={ }. Dann gäbe es keinen Vektor, der diese Gleichung erfüllt.

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Existiert ein Vektor x element aus R^3 mit ...,

Stichworte: lineare,algebra,vektoren

Ich habe wirklich gar keine Idee, wie man das lösen kann. Offensichtlich gilt es eine Gleichung zu lösen und zu guckeb ob ein Ergebnis rauskommt, was die Behauptung bestätigt. Ich weiß jetzt aber nicht genau wie diese Gleichung auszusehen hat.

x(transponiert) * A*x=-1 

 x soll der gesuchte Vektor sein nehme ich an(?)

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Dazu fehlt noch die Angabe der Matrix A.

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wow, habe das Wichtigste vergessen...

Es ist eine 3x3 Matrix nur aus 1en.

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Schau hier: https://www.mathelounge.de/431310/zeige-dass-es-keinen-vektor-mit-x-t-ax-1-gibt.

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Danke schonmal, aber das hilft mir leider nicht sehr weiter. Wie genau hast du die Gleichung auf (x+y+z)^2 vereinfacht? Das daraus folgt dass es keine Antwort gibt verstehe ich aber.

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\(\quad\begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x+y+z\\x+y+z\\x+y+z\end{pmatrix}\\=x\cdot(x+y+z)+y\cdot(x+y+z)+z\cdot(x+y+z).\)
Klammere nun \((x+y+z)\) aus.

Answer 1

Tipp: \(\begin{pmatrix}x,y,z\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=(x+y+z)^2\ge0\).

Comments

hallo nn,
was hältst du denn von meiner Vorgehensweise:
Zunächst stellen wir einen lgs der Form:
$$\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\-1\\-1\end{pmatrix}$$auf. Wir lösen nun diesen auf und sehen, dass diese Gleichung keine Lösung besitzt ( IL={ })Also  gibt es keinen Vektor, der die Gleichung x^T * Ax = -1 erfüllt.

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Dieses LGS besagt lediglich \(x+y+z=-1\) und hat unendlich viele Lösungen. Danach ist aber nicht gefragt. \(x^{\small\!\mathsf T}\cdot A\cdot x\) beschreibt kein Gleichungssystem, sondern eine Zahl, die hier wie oben beschrieben immer nichtnegativ (und damit insbesondere niemals -1) ist. (Reelle Zahlen vorausgesetzt.)

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Ich wage zu bezweifeln, dass dieses  LGS  unendlich viele Lösungen hat.

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Hallo Wolfi, die Gleichung heißt x + y + z = -1.  Diese Gleichung hat tatsächlich unendlich viele Lösungen.  Setze für y und z beliebige Zahlen ein.  Immer findest du eine Lösung für x.  Also gibt es unendlich viele Zahlentripel (x, y, z), die diese Gleichung lösen.