Kurvendiskussion: f(x) = x^2·e^{2 - 0.5·x}

Question

Gegeben ist die Funktion f(x)=x 2·exp(-0.5x+2).
Führen Sie eine Kurvendiskussion durch und kreuzen Sie alle richtigen Aussagen an.

a. Im Punkt x=1.80 ist die zweite Ableitung von f(x) negativb. Im Punkt x=4.21 ist die erste Ableitung von f(x) gleich -2.23c. Im Punkt x=4.41 ist f(x) konkavd. Im Punkt x=5.32 ist f(x) steigende. Der Punkt x=0.00 ist ein lokales Maximum von f(x)

Answer 1

Hier nur mal eine kleine Kurvendiskussion. Ich denke du kannst die Fragen selber beantworten wenn du die x-Werte in die entsprechende Funktion einsetzt und deine Schlüsse ziehst.

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Funktion und Ableitungen

f(x) = e^{2 - 0.5·x}·x^2

f'(x) = e^{2 - 0.5·x}·(2·x - 0.5·x^2)

f''(x) = e^{2 - 0.5·x}·(0.25·x^2 - 2·x + 2)

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Verhalten im Unendlichen

lim (x --> -∞) f(x) = ∞

lim (x --> ∞) f(x) = 0+

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y-Achsenabschnitt f(0)

f(0) = 0

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Nullstellen f(x) = 0

e^{2 - 0.5·x}·x^2 = 0 --> x = 0 (doppelte Nullstelle)

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Extrempunkte f'(x) = 0

e^{2 - 0.5·x}·(2·x - 0.5·x^2) = 0

2·x - 0.5·x^2 = x·(2 - 0.5·x) = 0 --> x = 0 ∨ x = 4

f(0) = 0 --> TP(0 | 0)

f(4) = 16 --> HP(4 | 16)

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Wendepunkte f''(x) = 0

e^{2 - 0.5·x}·(0.25·x^2 - 2·x + 2) = 0

0.25·x^2 - 2·x + 2 = 0 --> x = 4 ± √8 --> x = 1.172 ∨ x = 6.828

f(4 - √8) = 5.646 --> WP(1.172 | 5.646)

f(4 + √8) = 11.336 --> WP(6.828 | 11.336)