verallgemeinern von Funktionen - Parameter

Question

Wie rechnet man sowas???

Ich habe in Mathe diese Aufgabe aber verstehe sie nicht. Kann sie mir jemand bitte erklären ist sehr wichtig!

Aufgabe:

Der Graph einer quadratischen Funktion (f) mit (f(x)) = ax^2 + bx + 3 verläuft durch die Punkte P(1|6) und Q(-2|-9).

Bestimme eine mögliche funktionsgleichung von (f).

Kann mir das jemand schritt für schritt erklären bitte?

Dankeschön

Answer 1

Hallo bi,

>  f(x) = ax² + bx + 3  verläuft durch die Punkte P(1|6) und Q(-2|-9). 

Du musst die Koordinaten der Punkte in die Funktionsgleichung einsetzen. Der y-Wert des jeweiligen Punktes ist dabei der Funktionswert des x-Wertes.

[  →_Rechnung  bedeutet , dass du die angegebene Rechnung auf beiden Seiten der gegebenen Gleichung anwenden musst ]

f(1) =  a * 1² + b * 1 + 3 = 6     →_-3     a + b = 3    →_-a    b = 3 - a 

f(-2) =  a * (-2)² + b * (-2) + 3 = - 9   →_-3    4a - 2b = - 12   →_:2     2a - b = - 6 

b  einsetzen:   2a - (3 - a) = - 6    →_{Minusklammer auflösen}    2a - 3 + a = - 6   

                   →_{+3 und zusammenfassen}     3a = -3       →_:3     a = - 1     →    b = 3 - (-1) = 4 

Gesuchte Funktion:    f(x) = - x² + 4x + 3

Gruß Wolfgang

Answer 2

Die allgemeine Gleichung für eine Funktion 2. Grades lautet

f(x) = ax² +bx+c

C ist in diesem Fall schon vorgegeben = 3, also haben wir

f(x) = ax² +bx + 3

Jetzt gilt es, a und b herauszufinden.

Dazu benutzen wir die beiden Punkte, die angeben sind. Der Punkt mit den Koordinaten P(1/6) bedeutet, dass der Funktionswert an der Stelle 1 sechs ist. Daher setzen wir in die Gleichung für x 1 und für f(x) 6 ein:

1²a +1b + 3 = 6    ⇔

a + b + 3 = 6

Genau so wird mit dem zweiten Punkt verfahren:

-2² a -2b +3 = -9     ⇔

4a - 2b +3 = -9

Jetzt gibt es drei verschieden Verfahren, dieses Gleichungssystem zu lösen. Ich mache das jetzt mit dem Einsetzungsverfahren, indem ich die erste Gleichung nach a auflöse und das Ergebnis in der 2. Gleichung für a einsetze:

a + b + 3 = 6       auf beiden Seiten -3 ergibt

a + b = 3             auf beiden Seiten - b ergibt

a = 3 - b

In die zweite Gleichung eingesetzt:

4(3-b) -2b +3 = -9     

12 -4b -2b +3 = -9

15 - 6b = -9         auf beiden Seiten -15 ergibt

-6b = -24             auf beiden Seiten geteilt durch -6 ergibt

b = 4

Jetzt wird anstelle von b die 4 in die erste Gleichung eingesetzt. Das ergibt

a + 4 + 3 = 6

a + 7 = 6

a = -1

Also ist eine mögliche Funktionsgleichung f(x) = -x²+4x+3

Comments

Hallo Silvia,

perfekt, ausführlicher geht es wirklich nicht :-)

Es ist aber nicht nur eine mögliche, sondern die einzig mögliche Funktionsgleichung.

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Stimmt, du hast recht. Danke für das Kompliment!

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Ich habe mich von der Aufgabenstellung verleiten lassen.