Äquivalenzumformung (a ^ (a -> b)) -> b <=> 1 beweisen.

Question

Wie löse ich diese Aufgabe?

Beweisen Sie mittels Äquivalenzumformung:

(a ^ (a -> b)) -> b <=> 1

Answer 1

Wir haben die folgende Wahrheitstabelle

a	b	a → b	a ∧ (a → b)	(a ∧ (a → b)) → b
1	1	1	1	1
1	0	0	0	1
0	1	1	0	1
0	0	1	0	1

Comments

Beweisen Sie mittels Äquivalenzumformung

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Es gelten folgende Eigenschaften: $$p\rightarrow q \equiv \neg p \lor q \\ p \land (q\lor r) \equiv (p \land q)\lor (p\land r) \\ p\lor (q\land r )\equiv (p\lor q ) \land (p\lor r ) \\ \neg (p\lor q )\equiv \neg p \land \neg q \\ \neg (p \land q) \equiv \neg p \lor \neg q$$

Wir haben also folgendes: $$\left(a\land \left(a\rightarrow b \right) \right) \rightarrow b \\ \equiv \left(a\land \left( \neg a \lor b \right) \right) \rightarrow b   \\ \equiv \left(\left(a\land \neg a\right)\lor \left(a\land b\right) \right) \rightarrow b \\ \equiv \left(0\lor \left(a\land b\right) \right) \rightarrow b \\ \equiv  \left(a\land b\right)\rightarrow b \\ \equiv \neg (a\land b) \lor b \\ \equiv \left( \neg a\lor \neg b \right) \lor b \\ \equiv \neg a \lor \neg b \lor b \\ \equiv 1$$

Da entweder b oder ¬b 1 ist, ist die Disjunktion von a, b, ¬b gleich 1.