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Wie vereinfache ich diesen Wurzelterm?

2√(2+√3)=


Als Ergebnis soll rauskommen: √2 + √6, aber wie kommt man darauf????



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Hi,

versuche eine binomische Formel hinzubekommen. Ein bisschen probieren.

2+√3 = 1/2+2/2*√3+3/2 = 1/2(1+2*√3+(√3)^2) = 1/2*(1+√3)^2


Also

2√(2+√3) = 2√(1/2*(1+√3)^2) = 2√(1/2)*√((1+√3)^2) = √(2)(1+√3) = √2 + √6


Grüße

Avatar von 141 k 🚀
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Hallo ie,

es geht auch ohne Probieren nach "Schema F" :

 Für A≥0 ist  √A  die nichtnegative Lösung der Gleichung  x2 = A

[   √A = B  ⇔  A≥0 und B≥0  und  B2 = A  ] 

√(2+√3) = 1/2 * (√2 + √6)  ? 

2+√3  und  1/2 * (√2 + √6)  sind offensichtlich ≥ 0   und es gilt:  

[ 1/2 * (√2 + √6) ]2  = 1/4 * (2 + 2*√2*√6 + 6) = 1/4 * (8 + 2*√12) 

   = 1/4 * ( 8 + 2 * √(3*4) ) = 1/4 * (8 + 2*2*√3) = 1/4 *(8 + 4*√3)

   = 2 + √3

Gruß Wolfgang


Avatar von 86 k 🚀

Naja, wenn man weiß wo man hin will, muss man natürlich nicht probieren ;).

Ich ging hingegen davon aus, dass das Ergebnis nicht bekannt ist. Dann kann man "iwie" auf die binomische Formel kommen. Da habe ich natürlich gezielt probiert und nicht wahllos.

Ich wollte dem FS nur einen Weg aufzeigen, wie man √A = B  durch einfaches Nachrechnen zeigen kann.

Mit "gezielt probieren" ist das halt bei weniger Geübten immer so eine Sache.

Aber du hast recht: Ohne Kenntnis des Ergebnisses - und davon ist bei genauem Lesen der Aufgabenstellung wohl auszugehen - ist Kreativität gefragt.

+1 Daumen

Um die äußere Wurzel zu verrechnen, habe ich habe ich den Radikand in ein Quadrat verwandelt. Dazu habe ich zunächst den Faktor 2 unter die Wurzel gezogen und dann auch die erste binomische Formel verwendet:

$$ 2 \cdot \sqrt { 2 + \sqrt { 3 } } = \\\,\\ \sqrt { 8 + 4\cdot\sqrt { 3 } } = \\\,\\ \sqrt { 2 + 2\cdot\sqrt { 2 }\cdot\sqrt { 2 }\cdot\sqrt { 3 } + 6 } = \\\,\\ \sqrt { 2 + 2\cdot\sqrt { 2 }\cdot\sqrt { 6 } + 6 } = \\\,\\ \sqrt { \left( \sqrt { 2 } + \sqrt { 6 } \right)^2 } = \\\,\\ \sqrt { 2 } + \sqrt { 6 }.$$

Avatar von 27 k
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Wenn die Lösung nur noch zu bestätigen ist, geht man von 2√(2+√3)=√2 + √6 aus und bestätigt das durch Quadrieren. Wenn schon bekannt ist, dass die Summe zweier Wurzeln heraukommt, quadriert man den Ansatz 2√(2+√3)=√a + √b und erhält zwei Bestimmungsgleichungen für a und . Ohne Vorkenntnisse oder Annahmen zur Lösung kann man vermutlich nichts Originelles herausbekommen.

Avatar von 123 k 🚀

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