ja man kann das auch ohne integrieren lösen, indem man die unendliche Summe betrachtet und auf Konvergenz untersucht.
$$ \int_{0}^{\infty}x^2e^{-2x}dx<\infty\Leftrightarrow\sum_{n=0}^{\infty}{n^2e^{-2n}}<\infty\\\text{Quotientenkriterium: }\\\frac { { a }_{ n+1 } }{ { a }_{ n } }=\frac { (n+1)^2 }{ n^2 }\frac { e^{-2n-2} }{ e^{-2n} }=\frac { (n+1)^2*e^{-2} }{ n^2 }\to e^{-2}<1 $$
Also konvergieren sowie Reihe als auch Integral.
Mir fällt gerade ein noch einfacherer Weg ein: es ist x^2<e^{x} für große x, daher
steht im Integranten dann abgeschätzt ... <e^{x}*e^{-2x}=e^{-x} und dieses Integral konvergiert.
