Menge, Schnittmenge, Topologische Eigenschaften

Question

A,B ⊂ ℝ³ sind zwei offene Mengen. Ist dann A∩B wieder offen?

Ich vermute A∩B ist nicht offen, da der offene Rande der einen Menge in der jeweils anderen Menge liegt, deren Punkte ja jeweils alle zur Menge gehoeren. Stimmt das so? Waere der Rande dann die leere Menge?

Answer 1

Ist A=∅ oder B=∅, dann ist A∩B=∅, also offen.

Sei A∩B≠∅ und z ∈ A∩B.

Dann ist z ∈ A. Sei ε_A > 0, so dass die ε_A-Umgebung von z Teilmenge von A ist (ein solches ε_A existiert, weil A offen ist).

Es ist auch z ∈ B. Sei ε_B > 0, so dass die ε_B-Umgebung von z Teilmenge von B ist (ein solches ε_B existiert, weil B offen ist).

Sei ε das Minimum von ε_A und ε_B. Dann ist ε > 0 und die ε-Umgebung von z ist Teilmenge von A∩B.

> der offene Rande der einen Menge

In der Aufgabenstellung kommen vier Mengen vor. Alle diese Mengen haben Bezeichnungen: A, B, A∩B, ℝ³. Bitte verwende diese Bezeichnungen. Es ist nicht klar, was du mit "der einen Menge" meinst.

Comments

 Danke dir! Die Frage ist "unklar" gestellt (s.u.)> Dann muss zur Beantwortung also eine Fallunterscheidung gemacht werden. Was meinst du genau mit ε_{A und εB}?

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Ich erkenne nichts unklares an der Frage. Was findest du unklar?

Die Schlussfolgerung, dass bei unklarer Fragestellung eine Fallunterscheidung gemacht werden muss, ist nicht gültig.

> Was meinst du genau mit ε_{A und εB}?

ε_A ist der Radius einer Kugel mit Mittelpunkt z. Der Radius soll dabei so klein sein, dass das Innere der Kugel vollständig in A liegt. Analog wird ε_B definiert.

Das Innere der kleineren der beiden Kugeln muss dann in A∩B liegen.