Monotonie untersuchen Teil 2. f(x) = x^2(x-2)^2

Question

bitte um Hilfe bei monotonie! da habe ich keinen durchblick

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EDIT: Text bitte auch als Text eingeben: https://www.mathelounge.de/schreibregeln 

keine ganzen Aufgabensammlungen. 

Was verstehst du nicht? 

Wie habt ihr Monotonie definiert? 

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tut mir leid. kommt nicht wieder vor.

Answer 1

Du musst immer die Ableitung untersuchen. Zwischen ihren Nullstellen ist sie entweder negativ (fallender Graph) oder positiv (steigender Graph).

Comments

verstehe nicht wie ich das untersuchen soll. erste Ableitung ist klar aber dann?

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Nullstellen der Ableitung (Stellen von Hoch- und Tiefpunkten) bestimmen. Zwischen je zwei solchen Stellen eine Probe (Einsetzen einer Zahl in die erste Ableitung). Das, was die Probe ergibt (>0, <0, steigend, fallend) gilt für den ganzen Bereich zwischen zwei Nullstellen (unmittelbare Nachbarn).

Beispiel: f(x)=x²(x-2)=x³-2x². f '(x)=3x²-4x=x(3x-4). Nullstellen der ersten Ableitung: x₁=0; x₂=4/3. Bereiche (-∞, 0); (0, 4/3); (4/3, +∞). Probe im Bereich (-∞, 0) z.B. für x=-1. Einsetzen in die erste Ableitung f '(-1)=3+4=7>0 Graph steigt im ersten Bereich (-∞, 0). Danach ist klar: Im Bereich (0, 4/3) fällt der Graph und im Bereich  (4/3, +∞) steigt er wieder.

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kann man sich teils nur bedingt vorstellen. immer von 0 ausgehend ob grösser oder kleiner der wert den ich für die probe rausbekomme?

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Ableitung heißt Steigung. Wenn die Steigung Null ist, befinde ich mich an der tiefsten oder an der höchsten Stelle des Graphen (der einen Querschnitt durch hügeliges Gelände darstellt). Der Graph wird dabei von links nach rechts durchschritten. Wenn die Steigung (Ableitung) rechts von einer Nullstelle positiv (f '(x)>0) wird, war die Nullstelle ein Tiefpunkt und es geht bis zum nächsten Hochpunk6t aufwärts. Nach einem Hochpunkt geht es abwärts.

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was würde denn bei b rauskommen für nullstellen?