Ableiten mit Quotientenregel. f(t) = (t^3 + 5t - 18)/(t-2)

Question

Könnte mir bitte jemand diese Aufgabe vorrechnen mit rechenweg ich komme da leider nicht weiter 

Ableiten mit Quotientenregel. f(t) = (t^3 + 5t - 18)/(t-2) 

Answer 1

Hallo IC,

f(t) ist ein Quotient  u / v  von zwei anderen Funktionen u(t) und v(t): f(t) = u(t) / v(t)

Für die Bestimmung von  f '(t)  gibt es die

Quotientenregel   [ u / v ] '  = (u ' * v - u * v ' ) / v² 

Hier :   [  (t^3 + 5t - 18) / (t-2) ] '  =  [ (3t² + 5) * (t-2) - (t^3 + 5t - 18) * 1 ]  /  (t-2)²

Jetzt im Zähler die Klammern ausmultiplizieren und zusammenfassen, das ergibt

f '(t)  =  ( 2·t³ - 6·t² + 8 ) / (t-2)²   =  2 * (t³ - 3t² + 4) / (t-2)²  

Wegen t³ - 3t + 8  =  2·(t + 1)·(t - 2)² , kann man den Nenner wegkürzen und erhält 

f '(t) =  2 * (t+1)  

[ Für die Faktorzerlegung kann man durch Probieren die Nullstelle x=2 des Terms              t^3 - 3t² + 4 erkennen und durch eine Polynomdivision einen quadratischen Restterm ermittlen, der sich noch einmal in  2·(t + 1)·(t - 2)  zerlegen lässt.  Das ist aber hier ein Sonderfall. Das ist bei der Quotientenregel hier aber ein Sonderfall. Meist ist hier Schluss. ]

Gruß Wolfgang

Answer 2

f(t) = (t^3 + 5·t - 18) / (t - 2)

f'(t) = ((3·t^2 + 5)·(t - 2) - (t^3 + 5·t - 18)·1)/(t - 2)^2

f'(t) = (3·t^3 - 6·t^2 + 5·t - 10 - t^3 - 5·t + 18) / (t - 2)^2

f'(t) = (2·t^3 - 6·t^2 + 8) / (t - 2)^2