Grenzwert konvergenter Folgen

Question

ich soll den Grenzwert einer Folge bestimmen, falls sie konvergent ist.

a_n=4n+(-1)^ⁿ÷2n

Ich bin so vorgegangen, dass ich 2 Teilmengen von a_n definiert habe und deren Grenzwert mit einander vergliechen habe.

Wenn die Folge Konvergent ist, dann haben die beiden Teilmengen denselben Grenzwert.

b=a_2n , c=a_2n-1

b = a_2n = 8n+(-1)^²ⁿ ÷ 4n = 8n+1÷ 4n

c = a_2n-1 = 4(2n-1)+(-1)^^2n-1÷2(2n-1) = 8n-5÷4n-2

lim n-unendlich(b) = 2n +1/4n = 2n = +unendlich

lin n-unendlich(c) =(8-5/n)/(4-2/n) = 2.

b hat den Grenzwert +unendlich, während c den Grenzwert 2 hat. Das ist ein Widerspruch und deshalb ist die Folge divergent.

Nun hat ein Kollege die Aufgabe anders gelöst.

Seine herangehensweise:

a_n=4n+(-1)^ⁿ÷2n =a_n=4n+(-1)^ⁿ+1-1÷2n+1-1 = a_n=4+(-1)^ⁿ/n +1/n -1/n ÷2 + 1/n -1/n = 2

a_n hat den Grenzwert 2.

Nun weiß ich nicht welche Lösung die richtige ist. Ich bedanke mich für jede Hilfe

MfG

Answer 1

heißt es $$ 4n + \frac { (-1)^n }{ 2n } $$ (GW unendlich) oder

$$\frac {4n + (-1)^n }{ 2n } $$ (GW 2) ?

b = a_2n = 8n+(-1)^²ⁿ ÷ 4n = 8n+1÷ 4n soll das heißen $$\frac {8n + 1 }{ 4n } $$ ?

Dann ist ja $$\frac {8n}{ 4n } + \frac { 1 }{ 4n } \to 2 + 0$$

Comments

ja b haben sie richtig interpretiert. Ich verstehe nicht was sie mit Grenzwert unendlich oder Grentwert 2 meinen, denn es 2n bezieht ich nicht nur auf die -1^n. wenn sie mir sagen können wie ich so ein bruchstrich einfüge, dann kann ich mein beitrag korrigieren.

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deine Lösung würde ohne den Rechenfehler auch funktionieren nur dass die beiden Teilfolgen gerade/ungerade n aus denen sich die ganze Folge zusammensetzt gegen 2 konvergieren und somit ein Grenzwert existiert der 2 ist.

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also hast du bei 8n/4n + 1/4n n gegen unendlich laufen lassen, denn wenn n gegen unendlich läuft wird 1/4n zu 0 aber 8n/4n = 2n = unendlich oder lieg ich hier falsch ?

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okay nur dass 8n/4n = 2   bzw: (8/4) * (n/n) = (8/4) * 1