Integrieren von wurzel(x) * ln(x)?

Question

ich versuche √x * ln(x) mit Hilfe der partiellen Integration zu integrieren. Mein Ergebnis stimmt leider nicht mit dem eines Integralrechners überein und ich verstehe den dort angegebenen Rechenweg nicht. Wie muss ich vorgehen?

Answer 1

∫ √x·LN(x) dx

= ∫ x^{1/2}·LN(x) dx

= 2/3·x^{3/2}·LN(x) - ∫ 2/3·x^{3/2}·1/x dx

= 2/3·x^{3/2}·LN(x) - ∫ 2/3·x^{1/2} dx

= 2/3·x^{3/2}·LN(x) - 4/9·x^{3/2} + C

Comments

warum hast du im letzten Schritt die Stammfunktion von dem rechten Teil ausgerechnet? sollte man eigentlich nicht den Ausdruck im vorletzten Schritt zuammenfassen?

---

Das Integralzeichen ∫ bedeutet ja das du noch die Stammfunktion bilden musst. Das kannst du ja nicht einfach weglassen.

Das ist das trickreiche an der partiellen Integration. Damit bekommt mal also nicht direkt eine Stammfunktion sondern erstmal nur ein Teil der Stammfunktion und ein weiteres Integral was noch umzuwandeln ist.

Deswegen auch partielle Integration. Partiell bedeutet dabei teilweise.