\( y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+5 y=e^{x} \cos (2 x) \)
(1) homog. Gleichung:
\( λ^{2}-2 λ+5=0 \)
\( λ_{1 / 2}=1 \pm \sqrt{1-5}=1 \pm 2 i \)
\( λ_{1}=1 + 2 i \)
\( λ_{2}=1 - 2 i \)
\( \rightarrow y_{h}=c_{1}e^x \cos (2 x)+c_{2} \sin (2 x) \)
(2) Ansatz part. Lösung:
\( y_{p}=x\left(\operatorname{Ae^x} \cos(2x)+B e^x \sin (2 x)\right) \)
\( {y_{p}}^{\prime}=A e^{x} \cos (2 x)+A e^{x} x \cos (2 x)- 2 A e^x x \sin (2 x)+2 B e^{x}+\cos (2 x)+ B e^{x} \sin(2 x)+B e^{x} x \sin(2 x) \\ {y_{p}}^{\prime\prime} =-4 A e^{x} x \cos(2x) + A \cos (2 x) \left(2 e^{x}+e^{x} x\right)-4 A\left(e^{x}+e^{x} x \right) - 4B e^x x \sin(2x) + B (2e^{x}+ e^{x}x= sin(2x) \)
(3) Eingesetzt in die Aufgabe:
\( 4 B e^{x} \cos(2 x)-4 A e^{x} \sin (2 x)=e^{x} \cos (2 x) \)
(4) Koeffizientenvergleich:
\( e^{x} \cos (2x) : 4B = 1 \rightarrow B = \frac{1}{4} \\ e^{x} \sin(2x) : -4A = 0 \rightarrow A = 0 \\y = yn + yp \rightarrow \text{ Lösung } \)
