Trigonometrische Gleichung Cos. cos(2x)-(1/14) = 0. Lösung im 1. Quadranten?

Question

Hi, wie komme ich bei der folgenden Funktion auf die Nullstelle im ersten Quadranten (0 bis 90°)?

f(x) = cos(2x)-(1/14)

Bisher kam ich nur auf die Lösung im 2. Quadranten indem ich so gerechnet habe:

cos²x-sin²x=1/14  -> Theorem cos(2x)=cos²x-sin²x

cos(2x) = 1/14

cos(2x) - 1/14 = 0

2x - /1/14 = Pi/2 + n*Pi

x = Pi/4 + (n*Pi)/2 + 1/28

x = 2,391908... (für n=1) was dann 137,0462° entspricht.

Die Lösung des ersten Quadranten ist laut GeoGebra 0,74965...

Aber wie kommt man denn darauf? Dadurch dass die Kurve nicht mittig auf der Y=0 Achse liegt, kann man nicht einfach die Periode um Pi verschieben ..

Answer 1

Hallo JF,

> ...  wie komme ich bei der folgenden Funktion auf die Nullstelle im ersten Quadranten (0 bis 90°)?

f(x) = cos(2x) - (1/14)

cos(2x) - (1/14) = 0     | + 1/14

cos(2x)  = 1/14      |  cos^-1    (Taschenrechner im Bogenmaß RAD !)

2x  ≈ 1,4993 

  x  ≈  0,74965  im Bogenmaß,   das sind  0,74965 / (2π) * 360°  ≈  42,95°

Gruß Wolfgang

Comments

Danke,  bei der Gradzahl kommt sicher 42,95 Grad raus, statt 45,95.

Eine Frage hätte ich noch.  Wie kommt man jetzt am besten von der ersten Nullstelle (0,74965) zur Nullstelle im 4. Quadranten?  Diese müsste bei 5,5335 oder 317,0480 Grad liegen.

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1)  stimmt, habe den Tippfehler korrigiert.

2)

alle unendlich vielen Nullstellen:

cos(2x)  = 1/14

2x  ≈  1,4993 + k * 2π     mit k∈ℤ

                  oder  2x  ≈  - 1,4993 +  k * 2π     mit k∈ℤ

        [ Bei der Kosinusfunktion kommt jeder Wert von -1 bis 1 in jedem Perioden-Intervall

         ( z.B.  [-π,π] )  für zwei x-Werte vor,  die sich dann beide mit der Periode 2π wiederholen ]

x  ≈ 0.74965  + k * π     mit k∈ℤ

                  oder  x ≈ - 0,74965 +  k * π     mit k∈ℤ

Hier erhältst du mit k=2    x ≈ 5.533535

Answer 2

Wie kommt man jetzt am besten von der ersten Nullstelle (0,74965) zur Nullstelle im 4. Quadranten? 

Betrachte dazu, z.B. dieses Video:

https://youtu.be/qJOIoWTLkGY von https://www.matheretter.de/wiki/einheitskreis

Es zeigt dir, dass der Cosinus symmetrisch ist zur y-Achse und ausserdem ist er 2π-periodisch / 360°-periodisch.

Also

cos(2x) = 1/14 

2x = ± arccos(1/14) + 2nπ

x = ± 1/2 * arccos(1/14) + n*π 

Jetzt den Bereich anpeilen, den du brauchst:

x1 =  1/2 * arccos(1/14)       [ + mit n=0]   1. Quadrant

x2 = - 1/2 * arccos(1/14)        [- mit n=0 ]     4. Quadrant   

                                                                    | ist auch im 4.Quadranten, wenn du z.B. 2π addierst.

x3 = -1/2 * arccos(1/14) + 1*π        [- mit n=1]   2. Quadrant 

usw.